@(微積分)
有乙個很有啟發性的說法：考慮描述曲面的隱函式f(
x,y,
z)=0.
其全微分df
=f′x
dx+f
′ydy
+f′z
dz=0
,即(f
′x,f
′y,f
′z)(
dx,d
y,dz
)=0
其中，(d
x,dy
,dz)
為該曲面的切向量,與(f
′x,f
′y,f
′z) (若該梯度存在)垂直.由此可見(f
′x,f
′y,f
′z) 為該曲面點(x
,y,z
) 處的法向量.
這樣就很好理解為什麼說引數方程求導組成的向量是切向量，而偏導數求解得到的是法向量了。
在這篇文章中思考過這個問題。
此外，(dx
,dy,
dz) 是曲面一點處的切向量很好理解，同時在曲線上一樣成立。
思考乙個問題：用兩個曲面給定的交線一點處的切向量如何求？f(
x,y,
z)=0
,g(x
,y,z
)=0 時用雅各比行列式的方法。
現在用微元的角度來思考。{x
2−y+
z2=1
x+y2
+z=−
1 問在p
(−1,
1,−1
) 處的切向量是什麼。
如果用雅各比行列式：[f
′xg′
xf′y
g′yf
′zg′
z]=[
2x1−
12y2
z1]
jxy=
∣∣∣2
x1−1
2y∣∣
∣=4x
y+1=
−3 j
xz=∣
∣∣2x
12z1
∣∣∣=
2x−2
z=0
jyz=
∣∣∣−
12y2
z1∣∣
∣=−1
−4yz
=3注意切向量的寫法τ=
(jyz
,jxz
,jxy
)=(3
,0,−
3)→(
1,0,
−1)
只是再練習一下雅各比行列式的用法。
回到微元。
只需要讓兩個式子對x求導即可。因為我們需要(d
x,dy
,dz)
,所以找和dx
的關係。⎧⎩
⎨⎪⎪2
x−dy
dx+2
zdzd
x=01
+2yd
ydx+
dzdx
=0代入p點值，
得到：dyd
x=0→
dy=0
⋅dx
dzdx=−1
→dz=
−1⋅d
x 所以切向量是τ=
(dx,
0,−d
x)→(
1,0,
−1)
從過程中可見，兩個式子對dy,dz求導效果相同。
核心是一點處的微元構成的向量是此點的切向向量。此點處的偏導數組成的向量，即梯度是法向向量。
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