置換，迴圈，遞推（排列統計，UVA 11077）

把排列看成置換，再把置換寫成迴圈乘積。觀察迴圈，設某個迴圈中有c個元素，那麼這些元素在排列中一共要交換c-1次才能到對應的位子，設有x個迴圈，那麼需要交換的次數便是c1-1+c2-1+...+cx-1=n-x，這是乙個跟元素個數以及迴圈個數有關的量。

定義狀態f(i,j)，表示變成(1,2,..,i)需要j次交換的排列個數。

那麼容易得到狀態轉移方程f(i,j)=f(i-1,j)+f(i-1,j-1)*(i-1)。意思是第i個數可以單獨成乙個迴圈，也可以插入前面任意乙個迴圈的任意乙個位子。

有些難理解，所以解釋一波。

第i個數可以單獨成乙個迴圈：那麼元素個數為n+1，迴圈個數為x+1，需要交換的次數=(n+1)-(x+1)=n-x所以沒變。

所以才由f（i-1，j）轉移過來。

也可以插入前面任意乙個迴圈的任意乙個位子：元素個數n+1，迴圈個數x不變，所以需要交換的次數=（n+1）-x=n-x+1所以多了1。所以從f(i-1,j-1)轉移過來。因為可以插入任何元素的前面，而f(i-1,j-1)一共有

(i-1)個元素，所以答案就是f(i-1,j-1)*(i-1)。

易得j一定小於i（迴圈至少有1個），否則f[i][j]=0。邊界為f[1][0]=1。

竟然卡unsigned long long。

其實自己先前多試幾個大資料就好了。

** #include#define maxn 25

using namespace std;

typedef unsigned long long ll;

ll f[maxn][maxn];

ll n,k;

void init()

{ f[1][0]=1;

for(ll i=2;i<=21;i++)

for(ll j=0;j