求 [l
,r] 中有多少素數能寫成 x4
−y4x
3+y3
的形式。
約定：l,r
≤1013
考慮把
x 和
y的最大公約數提出來，設為
d ，把兩數寫為 dx
和 dy ((x
,y)=
1 )，設有素數
p 滿足條件，嘗試化簡原式，： p(
x3+y
3)=d
(x4−
y4)因式分解，可以得到： p(
x2−x
y+y2
)=d(
x−y)
(x2+
y2)
顯然，因子
p 應該在 (x
2+y2
)裡。另一方面，因為 (x
,y)=
1 ，所以有 (x
−y,x
2−xy
+y2)
=1，所以只能有 x−
y=1 。那麼我們繼續化簡，得到： p(
x2+x
+1)=
d(2x
2+2x
+1)
因為 (x2
+x+1
,2x2
+2x+
1)=1
，所以我們可以得到：
，我們從前向後，用小的 ai
去除大的 aj
。 具體地，我們從 i=
1 開始列舉每個 ai
，向後找到它可以整除的所有 aj
，把 aj
裡面的所有 ai
因子除乾淨。
我們斷言，按這樣的演算法處理，列舉到每個 ai
的時候，ai
一定是乙個素數或
1 。
證明：
先奠基，首先 a1
是乙個素數。若
ai是乙個合數，且 ai
中含有兩個不同的質因子時，等價於：
存在不同的兩質數
p ,
q使得
i 是 f(
x)≡0
modp和 f
(x)≡
0modq
的最小正整數解。（如果不是的話，ai
會被之前的 aj
篩掉）
那麼我們有
i且 i，所以： 2i
2+2i
+1矛盾。
因此，每個
i 只可能是最多乙個
p的同餘方程 f(
x)≡0
modp
的最小解。
類似上文的思路，還可以證明如果這樣的
p 存在，那麼 ai
裡 p的次數最大是 1。
如果 a
i 是素數，我們又會用它去篩之後的 aj
，根據迴圈不變式的那一套理論，這個命題應該是成立的。
答案怎麼統計呢？如果列舉到某個 ai
發現 ai
=f(i
) 且 ai
≥l時，就給答案加
1 嘛。
我們設有 m個
≤r的 f(
x)，按照上文描述，演算法的複雜度是 o(
m2) 的，可能還會 tle，有優化的餘地嗎？
注意到 f(
x)≡0
modp
當且僅當 f(
x%p)
≡0modp
，而<
p 和 p−
i−1，所以我們根據 a
i 和 i
可以知道它應該去篩哪些數，加上這個優化就可以過了。
複雜度？總比 o(
mlogm)
快，更精確的分析就不會了。
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