大家都知道，乙個很大很大的數很難進行因式分解。
如果兩個正整數，除了1以外，沒有其他公因子，我們就稱這兩個數是互質關係（coprime）。比如，15和32沒有公因子，所以它們是互質關係。這說明，不是質數也可以構成互質關係。
同時有以下結論：
（1） 任意兩個質數構成互質關係，比如13和61。尤拉函式定義如下：（2） 乙個數是質數，另乙個數只要不是前者的倍數，兩者就構成互質關係，比如3和10。
（3）如果兩個數之中，較大的那個數是質數，則兩者構成互質關係，比如97和57。
（4）1和任意乙個自然數是都是互質關係，比如1和99。
（5）p是大於1的整數，則p和p-1構成互質關係，比如57和56。
（6）p是大於1的奇數，則p和p-2構成互質關係，比如17和15。
任意給定正整數n，請問在小於等於n的正整數之中，有多少個與n構成互質關係？（比如，在1到8之中，有多少個數與8構成互質關係？）
計算這個值的方法就叫做尤拉函式，以φ(n)表示。在1到8之中，與8形成互質關係的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。關於尤拉函式的幾種情況詳見阮一峰的部落格：
尤拉定理定義如下：
尤拉函式的用處，在於尤拉定理。」尤拉定理」指的是：
如果兩個正整數a和n互質，則n的尤拉函式 φ(n) 可以讓下面的等式成立：也就是說，a的φ(n)次方被n除的餘數為1。或者說，a的φ(n)次方減去1，可以被n整除。比如，3和7互質，而7的尤拉函式φ(7)等於6，所以3的6次方（729）減去1，可以被7整除（728/7=104）。
尤拉定理可以大大簡化某些運算。比如，7和10互質，根據尤拉定理，已知 φ(10) 等於4，所以馬上得到7的4倍數次方的個位數肯定是1。
因此，7的任意次方的個位數（例如7的222次方），心算就可以算出來（只需與4比較，進而心算）。
如果兩個正整數a和n互質，那麼一定可以找到整數b，使得 ab-1 被n整除，或者說ab被n除的餘數是1。b就叫做a的」模反元素」。比如，3和11互質，那麼3的模反元素就是4，因為 (3 × 4)-1 可以被11整除。顯然，模反元素不止乙個， 4加減11的整數倍都是3的模反元素 ，即如果b是a的模反元素，則 b+kn 都是a的模反元素。假設愛麗絲要與鮑勃進行加密通訊，她該怎麼生成公鑰和私鑰呢？
第一步，隨機選擇兩個不相等的質數p和q
愛麗絲選擇了61和53。（實際應用中，這兩個質數越大，就越難破解。）
第二步，計算p和q的乘積n
愛麗絲就把61和53相乘。
n = 61×53 = 3233n的長度就是金鑰長度。3233寫成二進位制是110010100001，一共有12位，所以這個金鑰就是12位。實際應用中，rsa金鑰一般是1024位，重要場合則為2048位。第三步，計算n的尤拉函式φ(n)
根據公式：
φ(n) = (p-1)(q-1)愛麗絲算出φ(3233)等於60×52，即3120。第四步，隨機選擇乙個整數e
條件是1< e < φ(n)，且e與φ(n) 互質。愛麗絲就在1到3120之間，隨機選擇了17。（實際應用中，常常選擇65537）第五步，計算e對於φ(n)的模反元素d
所謂」模反元素」就是指有乙個整數d，可以使得ed被φ(n)除的餘數為1。
ed ≡ 1 (mod φ(n))
這個式子等價於
ed - 1 = kφ(n)
於是，找到模反元素d，實質上就是對下面這個二元一次方程求解。
ex + φ(n)y = 1
已知 e=17, φ(n)=3120，
17x + 3120y = 1
方程求解過程省略。
愛麗絲算出一組整數解為 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。
至此所有計算完成。
第六步，將n和e封裝成公鑰，n和d封裝成私鑰
n—p*q = 61×53 = 3233
e—隨機選擇乙個整數e，條件是1< e < φ(n)，且e與φ(n) 互質。
d—e對於φ(n)的模反元素d
在愛麗絲的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公鑰就是 (3233,17)，私鑰就是（3233, 2753）。
實際應用中，公鑰和私鑰的資料都採用asn.1格式表達（例項）。
那麼為什麼rsa就可靠呢？
有無可能在已知n和e的情況下，推導出d？
（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。結論：如果n可以被因數分解，d就可以算出，也就意味著私鑰被破解。（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
（3）n=pq。只有將n因數分解，才能算出p和q。
可是，大整數的因數分解，是一件非常困難的事情。目前，除了暴力破解，還沒有發現別的有效方法。
而且d（模反元素）還不是唯一的
用事例說話。
（1）加密要用公鑰 (n,e)
假設鮑勃要向愛麗絲傳送加密資訊m，他就要用愛麗絲的公鑰 (n,e) 對m進行加密。這裡需要注意，m必須是整數（字串可以取ascii值或unicode值），且m必須小於n。
所謂」加密」，就是算出下式的c：
m^e ≡ c (mod n)
愛麗絲的公鑰是 (3233, 17)，鮑勃的m假設是65，那麼可以算出下面的等式：
65^17 ≡ 2790 (mod 3233)
於是，c等於2790，鮑勃就把2790發給了愛麗絲。
（2）解密要用私鑰(n,d)
愛麗絲拿到鮑勃發來的2790以後，就用自己的私鑰(3233, 2753) 進行解密。可以證明，下面的等式一定成立：
c^d ≡ m (mod n)
也就是說，c的d次方除以n的餘數為m。現在，c等於2790，私鑰是(3233, 2753)，那麼，愛麗絲算出
27902753 ≡ 65 (mod 3233)
因此，愛麗絲知道了鮑勃加密前的原文就是65。
我們可以看到，如果不知道d，就沒有辦法從c求出m。而前面已經說過，要知道d就必須分解n，這是極難做到的，所以rsa演算法保證了通訊安全。
你可能會問，公鑰(n,e) 只能加密小於n的整數m，那麼如果要加密大於n的整數，該怎麼辦？
有兩種解決方法：一種是把長資訊分割成若干段短訊息，每段分別加密；另一種是先選擇一種」對稱性加密演算法」（比如des），用這種演算法的金鑰加密資訊，再用rsa公鑰加密des金鑰（注意只是金鑰）。
具體的加解密證明詳見：
[1]
非對稱加密RSA演算法
一 加密技術一般分為對稱加密和非對稱加密兩種 rsa演算法為非對稱加密，採用的是模運算 modular arithmetic 原理，本質類似於求餘運算 對於負數有些許不同 二 過程分析 n 為尤拉函式，求的是n前有多少位和n互質的正整數 7 6，7有6 5 4 3 2 1共6個與他互質的數 當n為質...
RSA非對稱加密
現實網路中，web應用的開發少不了需要對敏感資訊來進行加密，但是加密又不能草草了事，過於簡單。一旦被鑽了空子，就成了事故。比如密碼。之前用到了非對稱加密沒做記錄，這次又用到了，所以記錄下來！rsa是目前最有影響力的公鑰加密演算法，該演算法基於乙個十分簡單的數論事實 將兩個大素數相乘十分容易，但那時想...
RSA非對稱加密
對稱加密 演算法 在加密和解密時使用的是同乙個秘鑰 而 非對稱加密演算法 需要兩個 金鑰 來進行加密和解密，這兩個秘鑰是 公開金鑰 public key，簡稱公鑰 和私有金鑰 private key，簡稱私鑰 與對稱加密 演算法 不同，非對稱加密演算法 需要兩個 金鑰 公開金鑰 publickey ...