設f(
x)具有連續的二階偏導數，當前迭代點是xk
.f(x
) 在xk
處的ta
ylor
展開式為f(
xk+d
)=fk
+gtk
d+12
dtgk
d+o(
||d|
|2),
其中d=
x−xk
. 在點xk
的鄰域內，用二次函式 qk
(d)=
δfk+
gtkd
+12d
tgkd
近似f(
xk+d
) ,求解問題 mi
nqk(
d)=f
k+gt
k+12
dtgk
d. 若
gk可逆，則方程組 gk
d=−g
k 的解d
k=−g
−1kg
k 為上面問題mi
nqk(
d)的唯一解.
迭代步驟：
步1 給出x0
∈rn,
ϵ>0,
k:=0;
步2 若終止準則滿足，則輸出有關資訊，停止迭代；
步3 計算dk
;
步4 xk
+1:=x
k+dk
,k:=k
+1, 轉步2.
下面是實現的**
#include
#include
#define delta 1e-03
#define epsilon 1e-06
double funcvalue(double s)
double derivation(double s)
double dederivation(double s)
int main()
printf("%f, %f", x, funcvalue(x));
return
0;}
由收斂性證明也可得知，它的收斂是區域性的。
阻尼牛頓法比基本牛頓法多了一步一維搜尋步長
α 的方法： xk
+1=x
k+αk
dk,
此法能保證對正定的gk
, 單調下降；即使xk
離x∗ 稍遠，該方法產生的點列
仍可能收斂至x∗
. 其中一維搜尋步長的方法有**比例法、多項式插值法、信賴域法等。
這裡介紹一下**比例法（0.618比例法）：
首先我們需要確定乙個初始區間，使其包含 ϕ(
α)=f
(xk+
αdk)
,α>0
的極小點，這是建立在滿足單峰函式的基礎上的. 即使不是單峰函式，可以先用進退法得到乙個滿足單峰函式的區間. 這是迭代步驟：
步1 給定α0
∈[0,
∞),γ
0>0,
t>1,
i:=0.
步2 計算αi
+1=α
i+γi
. 若αi
+1≤0
,則令αi
+1:=0
, 轉步4；若ϕ(
αi+1
)≥ϕ(
αi),
則轉步4.
步3 令γi
+1=t
γi,α
:=αi,
αi:=α
i+1,
i:=i+
1 ,轉步2.
步4 若i=
0,令γi:=
−γi,
α:=αi
+1,轉步2；否則a=
min,
b=ma
x,輸出a,
b ,迭代停止.
0.618方法的迭代步驟：
步1 給定a0
>0,
b0>0,
i:=0,
ϵ>0,
τ:=0.618.
步2 若bi
−ai<ϵ,
則α∗:=
bi+a
i2,輸出α∗
,停止線搜尋.
步3 計算αl
i:=ai
+(1−
τ)(b
i−ai
),αr
i:=ai
+τ(b
i−ai
).步4 若ϕ(
αli)
<ϕ(
αri)
, 則ai
+1:=a
i,bi
+1:=α
ri; 否則ai
+1:=α
li,b
i+1:=
bi,i
:=i+1
,轉步2.裡面有python寫的詳細實現方式。
參考資料:
[1]高立.
數值最優
化方法.
北京大學
出版社.
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