資料預處理系列（十二）用截斷奇異值分解降維

博主簡介：風雪夜歸子（英文名: allen），機器學習演算法攻城獅，喜愛鑽研machine learning的黑科技，對deep learning和artificial intelligence充滿興趣，經常關注kaggle資料探勘競賽平台，對資料、machine learning和artificial intelligence有興趣的各位童鞋可以一起**哦，個人csdn部落格：

截斷奇異值分解（truncated singular value decomposition，tsvd）是一種矩陣因式分解（factorization）技術，將矩陣m

分解成u

，σ σ

和v

。它與pca很像，只是svd分解是在資料矩陣上進行，而pca是在資料的協方差矩陣上進行。通常，svd用於發現矩陣的主成份。

tsvd與一般svd不同的是它可以產生乙個指定維度的分解矩陣。例如，有乙個n×n

矩陣，通過svd分解後仍然是乙個n×n

矩陣，而tsvd可以生成指定維度的矩陣。這樣就可以實現降維了。

這裡我們還用iris資料集來演示tsvd：

in [1]:

from
sklearn.datasets
import
load_iris
iris
=load_iris
()iris_data
=iris
.data

tsvd物件的用法和其他物件類似。首先匯入需要的類，初始化，然後擬合：

in [5]:

from

sklearn.decomposition

import

truncatedsvd

in [6]:

svd=
truncatedsvd(2
)iris_transformed
=svd
.fit_transform
(iris_data
)iris_data[:5
]

array([[ 5.1,  3.5,  1.4,  0.2],
[ 4.9,  3. ,  1.4,  0.2],
[ 4.7,  3.2,  1.3,  0.2],
[ 4.6,  3.1,  1.5,  0.2],
[ 5. ,  3.6,  1.4,  0.2]])

in [7]:

iris_transformed[:5
]

array([[ 5.91220352, -2.30344211],
[ 5.57207573, -1.97383104],
[ 5.4464847 , -2.09653267],
[ 5.43601924, -1.87168085],
[ 5.87506555, -2.32934799]])

最終結果如下圖所示：

in [10]:

%matplotlib inline
import
matplotlib.pyplot
aspltf=
plt.
figure
(figsize=(
5,5))
ax=f.
add_subplot
(111)ax
.scatter
(iris_transformed
[:,0
],iris_transformed
[:,1],c
=iris
.target)ax
.set_title
("truncated svd, 2 components"
)

現在我們演示了scikit-learn的truncatedsvd模組，讓我們看看只用scipy學習一些細節。

首先，我們用scipy的linalg處理svd：

in [12]:

import
numpy
asnp
from
scipy.linalg
import
svdd=np
.array
([[1,2
],[1,
3],[1
,4]])d

array([[1, 2],
[1, 3],
[1, 4]])

in [13]:

u,
s,v=
svd(d,
full_matrices
=false)u
.shape,s
.shape,v
.shape

((3, 2), (2,), (2, 2))

我們可以根據svd的定義，用

u u，s

s和vv

還原矩陣

d d：

in [15]:

np.
diag(s
)

array([[ 5.64015854,  0.        ],
[ 0.        ,  0.43429448]])

in [16]:

np.
dot(u.
dot(np.
diag(s
)),v
)

array([[ 1.,  2.],
[ 1.,  3.],
[ 1.,  4.]])

truncatedsvd返回的矩陣是

u u和s

s的點積。如果我們想模擬tsvd，我們就去掉最新奇異值和對於

u u

的列向量。例如，我們想要乙個主成份，可以這樣：

in [17]:

new_s=s
[0]new_u=u
[:,0
]new_u
.dot
(new_s
)

array([-2.20719466, -3.16170819, -4.11622173])

一般情況下，如果我們想要截斷維度

t t

，那麼我們就去掉n−

t n−t

個奇異值。

truncatedsvd還有一些細節需要注意。

符號翻轉（sign flipping）

truncatedsvd有個「陷阱」。隨著隨機數生成器狀態的變化，truncatedsvd連續地擬合會改變輸出的符合。為了避免這個問題，建議只用truncatedsvd擬合一次，然後用其他變換。這正是管線命令的另乙個用處。

要避免這種情況，可以這樣：

in [23]:

tsvd
=truncatedsvd(2
)tsvd
.fit
(iris_data
)tsvd
.transform
(iris_data
)[:5
]

array([[ 5.91220352, -2.30344211],
[ 5.57207573, -1.97383104],
[ 5.4464847 , -2.09653267],
[ 5.43601924, -1.87168085],
[ 5.87506555, -2.32934799]])

稀疏矩陣

truncatedsvd相比pda的乙個優勢是truncatedsvd可以操作pda處理不了的矩陣。這是因為pca必須計算協方差矩陣，需要在整個矩陣上操作，如果矩陣太大，計算資源可能會不夠用。

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