以集合論的標準語言來說，乙個集合序列的下確界是這些集合的可數交，也就是包含在所有集合裡的最大集合： x=
infx=⋂
m=1∞
xm 令
in為自x
n 起集合（
）的下確界。那麼序列in
非遞減，因為in
⊂in+
1 。所以，i1
至in 的並集就是in
。x的下極限就是
的極限：
limn→∞
infx=⋃
n=1∞
(⋂m=
n∞xm
) 上極限可以以相反方式定義。乙個集合序列的上確界是包含這些集合的最小集合，也就是他們的可數並：
supx=⋃
m=1∞
xm 令
pn為自x
n 起的集合的上確界。那麼序列pn
非遞增，因為pn
⊃pn+
1 。所以，p1
至pn 的交集就是pn
。x的上極限就是
的極限：
limn→∞
supx=⋂
n=1∞
(⋃m=
n∞xm
) 看了上述這種定義方式，看下面的定義就不會看不懂了。
- 下限集
那種除有限個下標外，屬於集列
x 中每個集的元素的全體所組成的集稱為這一集列的下限集或者下極限，記為
limn→∞
x或者limn→∞
infx
limn→
∞x=
- 上限集
由屬於x
集列中無限多個集的那種元素的全體所組成的集稱為這一集列的上限集或上極限，記為
limn→∞
——x或者
limn→∞
supx
limn→
∞——x
= 上限集還可以定義為：
limn→∞
——x=
顯然，
limn→∞
x⊂limn→∞
——x
[1] 維基百科 上極限和下極限詞條
[2] 程其襄. 實變函式與泛函分析基礎[m]. 北京: 高等教育出版社, 2003: 7-7.
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