dn−勿
在浮沙築
高台本文將對svm解回歸問題，進行分析。
在樣本資料集(x
n,tn
) 中，tn
不是簡單的離散值，而是連續值。如**性回歸中，**房價的問題。與線性回歸類似，目標函式是正則平方誤差函式：
在svm回歸演算法中，目的是訓練出超平面y=
wtx+
b ，採用yn
=wtx
n+b 作為**值。為了獲得稀疏解，即計算超平面引數w,
b 不依靠所有樣本資料，而是部分資料（如在svm分類演算法中，支援向量的定義），採用ϵ−
inse
nsit
ive 誤差函式–vapnik,1995。 ϵ−
inse
nsit
ive 誤差函式定義為，如果**值yn
與真實值tn
的差值小於閾值
ϵ 將不對此樣本點做懲罰，若超出閾值，懲罰量為|y
下圖為ϵ−i
nsen
siti
ve誤差函式與平方誤差函式的圖形
觀察上述的eϵ
誤差函式的形式,可以看到，實際形成了乙個類似管道的樣子，在管道中樣本點，不做懲罰，所以被稱為ϵ−
tube
，如下圖陰影紅色部分
ϵ 替代平方誤差項，因此可以定義最小化誤差函式作為優化目標：
由於上述目標函式含有絕對值項不可微。我們可以轉化成乙個約束優化問題，常用的方法是為每乙個樣本資料定義兩個鬆弛變數ξn
≥0,ξ
n^≥0
，表示度量tn
與ϵ−t
ube 的距離。
如上圖所示：
當樣本點真實值tn
位於管道上方時，ξn
>
0 ,寫成表示式：tn
>y(
xn)+
ϵ 時，ξn
>0，
ξ^n=
0 ；
當樣本點真實值tn
位於管道下方時，ξn
^>
0 ,寫成表示式：tn
xn)−
ϵ 時，ξn
^>0，
ξn=0
； 因此使得每個樣本點位於管道內部的條件為： 當t
n 位於管道上方時，ξn
>
0 ，有tn
−y(x
n)−ξ
n≤ϵ
當tn 位於管道下方時，ξn
^>
0 ，有y(
xn)−
tn−ξ
^n≤ϵ
誤差函式可以寫為乙個凸二次優化問題：
約束條件： ξn
≥0 ξ
n^≥0
tn−y(xn
)−ξn
≤ϵ y
(xn)
−tn−
ξ^n≤
ϵ 上述問題為極小極大問題：mi
nw,b
,ξn,
ξn^m
axμn
,μn^
,αn,
αn^l
與svm分類分析方法一樣，改寫成對偶問題ma
xμn,
μn^,
αn,α
n^mi
nw,b
,ξn,
ξn^l
；首先分別對w,
b,ξn
,ξn^
求偏導數
帶回到拉格朗日函式中，化簡得到只關於αn
,αn^
的函式，目標即最大化此函式。
約束條件為： 0≤
αn≤c
0≤αn^≤c
,其中k(
xn,x
m)=(
xn)t
xm為向量內積。
下面考慮kkt條件：
由式7.65,7.66知： 當α
n≠0 時，必有ϵ+
ξn+y
(xn)
−tn=
0 ,這些點位於管道上方邊界出，或者管道上面。 當α
^n≠0
時，必有ϵ+
ξn−y
(xn)
+tn=
0 ,這些點位於管道下方邊界出，或者管道下面。
同時，由式7.65,7.66知，對於任意乙個資料點，由於
ϵ>
0 ，則αn
，α^n
不可能同時不為0，而且得到在管道內部的點，必然有αn
表示式帶入到y=
wtx+
b得：
由上述的分析，影響超平面引數的點為位於管道邊界處，或者管道外面。
關於b的計算，可以考慮在管道上方邊界處乙個點必然有： ξn
=0 ϵ
+ξn+
y(xn
)−tn
=0參考：prml
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