時間複雜度

一、概念

時間複雜度是總運算次數表示式中受n的變化影響最大的那一項(不含係數)
比如：一般總運算次數表示式類似於這樣：
a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+f
a ！ =0時，時間複雜度就是o(2^n);
a=0,b<>0 =>o(n^3);
a,b=0,c<>0 =>o(n^2)依此類推

eg:

(1)   for(i=1;i<=n;i++)//迴圈了n*n次，當然是o(n^2)
for(j=1;j<=n;j++)
s++;
(2)   for(i=1;i<=n;i++)//迴圈了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因為時間複雜度是不考慮係數的，所以也是o(n^2)
for(j=i;j<=n;j++)
s++;
(3)   for(i=1;i<=n;i++)//迴圈了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,當然也是o(n^2)
for(j=1;j<=i;j++)
s++;
(4)   i=1;k=0;

while(i<=n-1)//迴圈了

n-1≈n次，所以是o(n)

(5) for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=i;j++)

for(k=1;k<=j;k++)

x=x+1;

迴圈了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(這個公式要記住哦)≈(n^3)/3，不考慮係數，自然是o(n^3)

另外，在時間複雜度中，log(2,n)(以2為底)與lg(n)(以10為底)是等價的，因為對數換底公式：

log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)
所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉係數，二者當然是等價的

二、計算方法

1.乙個演算法執行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機執行測試才能知道。但我們不可能也沒有必要對每個演算法都上機測試，只需知道哪個演算法花費的時間多，哪個演算法花費的時間少就可以了。並且乙個演算法花費的時間與演算法中語句的執行次數成正比例，哪個演算法中語句執行次數多，它花費時間就多。

乙個演算法中的語句執行次數稱為語句頻度或時間頻度。記為t(n)。

2.一般情況下，演算法的基本操作重複執行的次數是模組n的某乙個函式f（n），因此，演算法的時間複雜度記做：t（n）=o（f（n））。隨著模組n的增大，演算法執行的時間的增長率和f（n）的增長率成正比，所以f（n）越小，演算法的時間複雜度越低，演算法的效率越高。

在計算時間複雜度的時候，先找出演算法的基本操作，然後根據相應的各語句確定它的執行次數，再找出t（n）的同數量級（它的同數量級有以下：1，log2n ，n ，nlog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出後，f（n）=該數量級，若t(n)/f(n)求極限可得到一常數c，則時間複雜度t（n）=o（f（n））。

常見的時間複雜度

按數量級遞增排列，常見的時間複雜度有：

常數階o(1),  對數階o(log2n),  線性階o(n),  線性對數階o(nlog2n),  平方階o(n^2)， 立方階o(n^3),...， k次方階o(n^k), 指數階o(2^n) 。


其中，1.o(n)，o(n^2)， 立方階o(n^3),...， k次方階o(n^k) 為多項式階時間複雜度，分別稱為一階時間複雜度，二階時間複雜度。。。。

2.o(2^n)，指數階時間複雜度，該種不實用

3.對數階o(log2n),   線性對數階o(nlog2n)，除了常數階以外，該種效率最高

例：演算法：
for（i=1;i<=n;++i）
}則有 t（n）= n^2+n^3，根據上面括號裡的同數量級，我們可以確定 n^3為t（n）的同數量級
則有f（n）= n^3，然後根據t（n）/f（n）求極限可得到常數c
則該演算法的 時間複雜度：t（n）=o（n^3)

四、

定義：如果乙個問題的規模是n，解這一問題的某一演算法所需要的時間為t(n)，它是n的某一函式 t(n)稱為這一演算法的「時間複雜性」。

當輸入量n逐漸加大時，時間複雜性的極限情形稱為演算法的「漸近時間複雜性」。

我們常用大o表示法表示時間複雜性，注意它是某乙個演算法的時間複雜性。大o表示只是說有上界，由定義如果f(n)=o(n)，那顯然成立f(n)=o(n^2)，它給你乙個上界，但並不是上確界，但人們在表示的時候一般都習慣表示前者。

此外，乙個問題本身也有它的複雜性，如果某個演算法的複雜性到達了這個問題複雜性的下界，那就稱這樣的演算法是最佳演算法。

「大o記法」：在這種描述中使用的基本引數是 n，即問題例項的規模，把複雜性或執行時間表達為n的函式。這裡的「o」表示量級 (order)，比如說「二分檢索是 o(logn)的」,也就是說它需要「通過logn量級的步驟去檢索乙個規模為n的陣列」記法 o ( f(n) )表示當 n增大時，執行時間至多將以正比於 f(n)的速度增長。

這種漸進估計對演算法的理論分析和大致比較是非常有價值的，但在實踐中細節也可能造成差異。例如，乙個低附加代價的o(n2)演算法在n較小的情況下可能比乙個高附加代價的 o(nlogn)演算法執行得更快。當然，隨著n足夠大以後，具有較慢上公升函式的演算法必然工作得更快。

o(1)

temp=i;i=j;j=temp;

以上三條單個語句的頻度均為1，該程式段的執行時間是乙個與問題規模n無關的常數。演算法的時間複雜度為常數階，記作t(n)=o(1)。如果演算法的執行時間不隨著問題規模n的增加而增長，即使演算法中有上千條語句，其執行時間也不過是乙個較大的常數。此類演算法的時間複雜度是o(1)。

o(n^2)

2.1. 交換i和j的內容

sum=0；

（一次）

for(i=1;i<=n;i++)

（n次）

for(j=1;j<=n;j++) （n^2次）

sum++；

（n^2次）

解：t(n)=2n^2+n+1 =o(n^2)

2.2.

for (i=1;i

解：語句1的頻度是n-1

語句2的頻度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1

f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2

該程式的時間複雜度t(n)=o(n^2).

o(n)

2.3.

a=0;

b=1;

① for (i=1;i<=n;i++) ②

解：語句1的頻度：2,

語句2的頻度： n,

語句3的頻度： n-1,

語句4的頻度：n-1,

語句5的頻度：n-1,

t(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=o(n).

o(log2n )

2.4.

i=1;

① while (i<=n)

i=i*2; ②

解：語句1的頻度是1,

設語句2的頻度是f(n),

則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n

取最大值f(n)= log2n,

t(n)=o(log2n )

o(n^3)

2.5.

for(i=0;i }

解：當i=m, j=k的時候,內層迴圈的次數為k當i=m時, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以這裡最內迴圈共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則迴圈共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以時間複雜度為o(n^3).

我們還應該區分演算法的最壞情況的行為和期望行為。如快速排序的最壞情況執行時間是 o(n^2)，但期望時間是 o(nlogn)。通過每次都仔細地選擇基準值，我們有可能把平方情況 (即o(n^2)情況)的概率減小到幾乎等於 0。在實際中，精心實現的快速排序一般都能以 (o(nlogn)時間執行。

下面是一些常用的記法：

訪問陣列中的元素是常數時間操作，或說o(1)操作。乙個演算法如果能在每個步驟去掉一半資料元素，如二分檢索，通常它就取 o(logn)時間。用strcmp比較兩個具有n個字元的串需要o(n)時間。常規的矩陣乘演算法是o(n^3)，因為算出每個元素都需要將n對元素相乘並加到一起，所有元素的個數是n^2。

指數時間演算法通常**於需要求出所有可能結果。例如，n個元素的集合共有2n個子集,所以要求出所有子集的演算法將是o(2n)的。指數演算法一般說來是太複雜了，除非n的值非常小，因為，在這個問題中增加乙個元素就導致執行時間加倍。不幸的是，確實有許多問題 (如著名的「巡迴售貨員問題」 )，到目前為止找到的演算法都是指數的。如果我們真的遇到這種情況，通常應該用尋找近似最佳結果的演算法替代之。

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