(題外話:)在資料結構和演算法中，資料結構也就是adt是組織資料的方式，而演算法就是解決問題的流程問題；通常我們說資料結構和演算法的優化就是兩個方面，即空間和時間，盡可能的使空間和時間最小化。基於以上兩個原則，才有了不斷在原來的經典的演算法之上繼續改進和創新。
本主今天講解一下二叉樹，二叉樹的應用很廣泛，尤其是在後面講解到查詢的演算法，二叉樹是乙個效率很高的資料結構，並且在此基礎上延伸到b數，b+樹，b*樹，紅黑樹等。
首先說一下什麼是樹？ 樹作為乙個常用的資料結構，我們可以暫時理解為資料之間的一對多的關係如圖所示。
二叉樹在圖論中是這樣定義的：二叉樹是乙個連通的無環圖，並且每乙個頂點的度不大於3。有根二叉樹還要滿足根結點的度不大於2。有了根結點之後，每個頂點定義了唯一的父結點，和最多2個子結點。
可以把二叉樹的定義簡單得理解為：如存在根，每個節點的度不大於2，每個結點的孩子結點次序不能任意顛倒（遞迴定義）。
1.斜樹
所有結點都只有左子樹的二叉樹叫左斜樹，所有結點都只有右子樹的二叉樹叫右斜樹。斜樹的每一層都只有乙個結點，結點的個數與斜樹的深度相同。
2 滿二叉樹
在一棵二叉樹中，如果所有分支結點都存在左子樹和右子樹，並且所有葉子結點都在同一層上，這樣的二叉樹稱為滿二叉樹。（上圖中所示的二叉樹，就是一棵滿二叉樹）
3 完全二叉樹
對一棵具有n個結點的二叉樹按層序編號，如果編號為i（1≤i≤n）的結點與同樣深度的滿二叉樹中的編號為i的結點在二叉樹中的位置完全相同，則這棵二叉樹稱為完全二叉樹。
性質1:在二叉樹中至多有2^(n-1)個結點(n為樹的深度)。可用數學歸納法證明。
性質2:深度為k的二叉樹，至多有(2^n ) -1 個結點。
以上兩個性質常會在查詢樹等問題中用到，如求b樹的最小深度。
性質3：對任意乙個二叉樹，如終端結點n0，而度數為2的結點為n2,則有n0=n2+1。
證明：
設二叉樹的結點總數為n,度為0的結點即終端結點為n0,度為1的結點為n1,度為2的結點為n2,則有 n = n0 + n1 + n2,從另一方面講，度為1的結點有乙個子結點，度為2的結點有有兩個子結點，度為0的結點有0個子結點，則n = 0 * n0 + 1 * n1 + 2* n2 +1 ,這裡為什麼加1，加1 是由於加上根結點，由上面兩個公式可得 n0 = n2+1。
性質4：具有n個結點的完全二叉樹的深度為floor(log2n) + 1 。
性質5：如果對一棵有n個結點的完全二叉樹（其深度為floor(log2n) + 1）的結點按層序編號，則對任一結點i（1≤i≤n）有：
（1） 如果i = 1，則結點i是二叉樹的根，無雙親；如果i > 1，則其雙親parent(i)是結點 floor((i)/2)。
（2）如果2i > n，則結點i無左孩子；否則其左孩子lchild(i)是結點2i。
（3）如果2i + 1 > n，則結點i無右孩子；否則其右孩子rchild(i)是結點2i + 1。
由此性質可知，如果結點的編號為i(假設其左子樹、右子樹和父結點都存在)，則其左子樹的編號為2i,右子樹的編號為2i +1, 其父節點為i/2。
二叉樹的邏輯結構如圖所示，是客觀世界的真實反映，反映了在客觀世界中資料之間組織的方式。如圖所示。
二叉樹的物理儲存結構即為在二叉樹在計算機世界的反映，一般是順序儲存和鏈式儲存。
順序儲存：如圖所示
由此可以看出，當二叉樹為左斜樹，右斜樹，會有很多的空間浪費。
鏈式儲存：如圖所示
由此可以看出，鏈式儲存雖然能夠節約空間，但是在查詢效率上回損失時間。因此，有二叉鍊錶拓展到三叉鍊錶，加個指向父節點的指標。提高查詢效率，由此可以看出，資料結構和演算法總是在空間和時間上尋求平衡，根據具體情況來設計資料結構和演算法。
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "string.h"
typedef char elemtype;
typedef int status; //狀態碼
#define error 0
#define true 1
/*定義二叉樹結構*/
typedef struct nodebtnode, *btree;
btree pre;
/*前序插入*/
void preorderinsert(btree *bt)
}/*前序遍歷*/
void
preorder
(btree t)
}/*中序遍歷*/
void
inorder
(btree t)
}/*後序遍歷*/
void
lastorder
(btree t)
}/*列印樹形結構*/
void
printtree
(btree bt, int nlayer)
printf
("%c\n",bt->data);
printtree
(bt->lchild,nlayer +1);
}/*樹的深度*/
intdepth
(btree bt)
else
return 0;
}void
main
()
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