設有n個資料點pi(xi,yi,zi).
假設平面方程為：a*x+b*y+c*z+d=0,其中a、b、c、d為待定係數a、b、c不能同時為0.
顯然,a*x+b*y+c*z+d=0與
k*a*x+k*b*y+k*c*z+k*d=0（k≠0）
表示同乙個平面.故,如d不為0,可通過把方程兩邊同除以d,把常數項化為1；但d=0時,情況稍微複雜一點.
現在說明大致思路,為討論方便,開始時暫不假設d=1或0.
設擬合平面的方程為∏：a*x+b*y+c*z+d=0.
資料點pi到平面a*x+b*y+c*z+d=0的距離設為di,
則di^2=(a*xi+b*yi+c*zi+d)^2/(a^2+b^2+c^2),
令l=∑di^2 （i=1,...,n）,為目標函式,現欲使l最小.
l可以看成是關於(a,b,c,d)的函式（(xi,yi,zi)均已知）,
l取最小值的乙個必要（非充分）條件是：
∂l/∂a=0,∂l/∂b=0,∂l/∂c=0,∂l/∂d=0,
∂l/∂a=∑2*xi*(a*xi+b*yi+c*zi+d)/(a^2+b^2+c^2) （i=1,...,n）
=a1*a+b1*b+c1*c+d1*d,
其中,a1=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑xi^2)（i=1,...,n）,
b1=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑xi*yi)（i=1,...,n）,
c1=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑xi*zi)（i=1,...,n）,
d1=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑xi)（i=1,...,n）,
同理,∂l/∂b=a2*a+b2*b+c2*c+d2*d,
∂l/∂c=a3*a+b3*b+c3*c+d3*d,
其中,a2=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑yi*xi)（i=1,...,n）,
b2=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑yi^2)（i=1,...,n）,
c2=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑yi*zi)（i=1,...,n）,
d2=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑yi)（i=1,...,n）,
a3=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑zi*xi)（i=1,...,n）,
b3=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑zi*yi)（i=1,...,n）,
c3=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑zi^2)（i=1,...,n）,
d3=2/(a^2+b^2+c^2)*(∑zi)（i=1,...,n）,
∂l/∂d=∑2*(a*xi+b*yi+c*zi+d)/(a^2+b^2+c^2) （i=1,...,n）
=d1*a+d2*b+d3*c+d4*d,
其中,d4=2n/(a^2+b^2+c^2).
於是有方程組：
a1*a+b1*b+c1*c+d1*d=0,
a2*a+b2*b+c2*c+d2*d=0,
a3*a+b3*b+c3*c+d3*d=0,
d1*a+d2*b+d3*c+d4*d=0,
解此方程組即可.具體如何解,可參考計算方法的書,上面有詳細說明.
最小二乘法擬合平面
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