1 為什麼乙個數的各位數之和可以被3整除時，這個數就可以被3整除
【**：
設乙個n位數number，從個位起每一位為a1 ... an
則number = a1 + a2 * 10 + a3 * 10^2 + ... + an * 10^n-1; (1)
先證必要性：
如果number的各位數之和是3的倍數，
則a1 + a2 + ... an = 3k (k為正整數); (2)
由(2)得a1 = 3k - (a2 + a3 + ... an); (3)
將(3)代入(1)得：
number = 3k + a2 * (10 - 1) + a3 * (10^2 - 1) + ... + an * (10^n-1 - 1); (4)
顯然(4)式右端任意一項都可以被3整除，故number可被3整除。
且倍數為k + a2 * 3 + a3 * 3^2 + ... + an * 3^n-1。
再證充分性：
如果number可以被3整除，那麼number = 3m (m為正整數); (5)
(5)結合(1)得a1 + a2 * 10 + a3 * 10^2 + ... + an * 10^n-1 = 3m; (6)
由(6)得a1 = 3m - (a2 * 10 + a3 * 10^2 + ... + an * 10^n-1); (7)
那麼a1 + a2 + ... an = 3m + a2 * (1 - 10) + a3 * (1 - 10^2) + ... + an * (1 - 10^n-1); (8)
顯然(8)式右端任意一項都可以被3整除，故number的各位數之和是3的倍數。
且倍數為m + a2 * (-3) + a3 * (-3^2) + ... + an * (-3^n-1)。
2 八種球盒問題
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