動態規劃遊艇租用問題

問題描述：

長江遊樂俱樂部在長江上設定了n個遊艇出租站，遊客可以在這些遊艇出租站用遊艇，並在下游任何乙個遊艇出租站歸還遊艇，遊艇出租站i到j之間的租金是rent(i,j)，其中1<=i

這是一道典型的動態規劃問題。解題的思路是，既然要得到最小的花費，那麼就從最底層開始，逐層向上計算每兩個站之間的最小花費，並記錄在陣列中，有記錄的就不必再算了。其中兩個站可能是相鄰的，也可能不是相鄰的。然後要得到方案，就需要對費用進行遞迴檢測，比如：如果j、k兩站之間的最小費用為m，但是j、k兩站之間的某一站p滿足：jp最小費用+pk最小費用等於jk最小費用，同時jk最小費用不等於由j直接到k的費用，則這個p站肯定是其中乙個租船點。如果jk最小費用等於由j直接到k的費用，那麼j和k必定是兩個租船點，且其中沒有租船點。在遞迴的過程中將這些租船點記錄下來，就得到了最優方案。

**如下：

#include #include #include #define n 200
using namespace std;
int p[n][n];    //p[i][j]為i到j的最小費用
int r[n][n];    //儲存資料
int mark[n][n]; //記錄是否已經計算過最小費用，避免重複計算
int smallestfee(int start, int ende);    //求最小費用
void findpath(int start, int ende);      //求最小費用方案
int answer[n];
int main()
smallestfee(1, n);
printf("smallest cost: %d\n", p[1][n]);  //輸出最小費用
//找出最優解
findpath(1, n);
printf("path: 1->");
for(int i = 1; i < n; ++i)
if(answer[i] != 0) printf("%d->", answer[i]);
printf("%d\n\n", n);
while(getchar() != '\n')    //剔除空格，為下一次測試做準備
continue;
}return 0;
}int smallestfee(int start, int ende)
p[start][ende] = r[start][ende];    //假設直接從start到ende為最小花費
int k, x1, x2;
for(k = start + 1; k < ende; ++k)       //找從start到ende的最小花費
mark[start][ende] = 1;   //已經計算過標記為1
return p[start][ende];
}void findpath(int start, int ende)
for(int k = start + 1; k < ende; ++k)
}return;
}

然而上面這種簡單的帶備忘的樸素分治演算法，效率並不高，最差勁的是在求最小花費的過程中，不能同時構建最優方案。下面給出一種更好的方法。

這種方法假定第一次還的位置為k，從1直接到k是最優的（k從2到n迴圈）。然後遞迴呼叫此方法，求得k到n的最優方案和花費。這種方法是一種自頂向下的計算方法，也用到了備忘錄。待會兒再給出一種非遞迴的自底向上的方法。

#include #include #include #define n 200
using namespace std;
int r[n][n];    //儲存資料
int p[n][n];    //記錄最小花費
int smallestfee(int start, int n);    //求最小費用
int answer[n];
int main()
printf("smallest cost: %d\n", smallestfee(1, n));  //輸出最小費用
//輸出方案
printf("path: 1->");
for(int i = 2; i < n; ++i)
if(answer[i] != 0) printf("%d->", answer[i]);
printf("%d\n\n", n);
while(getchar() != '\n')    //剔除後續字元，為下一次輸入做準備
continue;
}return 0;
}/*自頂向下遞迴計算*/
int smallestfee(int start, int n)
int smallest = 1 << 10;
int x;
for(int k = start + 1; k <= n; ++k)
}answer[x] = x;              //記錄最優的歸還站點位置
p[start][n] = smallest;     //記錄最優花費
return smallest;
}

上面兩種遞迴方法，因為帶備忘錄，所以沒有重複計算，計算最小花費的時間複雜度均為o(n²)，但第二種更好一些，因為在計算的過程中就能構建最優方案，而且第一種還用另乙個函式計遞迴求解了最優方案。

下面給出一種非遞迴的方法，很容易知道時間複雜度也為o(n²)，但是不需要備忘錄，其在求解最小費用時，同時能夠構造最優解。這是一種自底向上的方法。假若把n個站從左到右排成一排，左邊為1（起點），右邊為n（終點）。先計算1到k的最優值，在根據1到k的最優值，計算1到k+1的最優值，最後得到1到n的最優值。

**如下：

#include #include #include #define n 200
using namespace std;
int r[n][n];    //儲存費用資料
int p[n][n];    //記錄最小花費
int smallestfee(int start, int n);    //求最小費用
int answer[n];
int main()
printf("smallest cost: %d\n", smallestfee(1, n));  //輸出最小費用
//輸出方案
printf("path: 1->");
for(int i = 2; i < n; ++i)
if(answer[i] != 0) printf("%d->", answer[i]);
printf("%d\n\n", n);
while(getchar() != '\n')    //剔除後續字元，為下一次輸入做準備
continue;
}return 0;
}/*自底向上計算*/
int smallestfee(int start, int n)
}p[1][i] = x;            //記錄最少花費
answer[temp] = temp;    //記錄最優方案的歸還站點
}return p[start][n];
}

後面兩種方法的思路是在看《演算法導論》動態規劃章節的過程中得來的，如果文中有錯誤請批評指正。

動態規劃遊艇租用問題

動態規劃遊艇租用問題，C

動態規劃遊艇租用問題（c ）

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