資料結構之拓撲排序

拓撲排序(topological order)是指，將乙個有向無環圖(directed acyclic graph簡稱dag)進行排序進而得到乙個有序的線性序列。

這樣說，可能理解起來比較抽象。下面通過簡單的例子進行說明！

例如，乙個專案包括a、b、c、d四個子部分來完成，並且a依賴於b和d，c依賴於d。現在要制定乙個計畫，寫出a、b、c、d的執行順序。這時，就可以利用到拓撲排序，它就是用來確定事物發生的順序的。

在拓撲排序中，如果存在一條從頂點a到頂點b的路徑，那麼在排序結果中b出現在a的後面。

拓撲排序演算法的基本步驟：

1.構造乙個佇列q(queue) 和拓撲排序的結果佇列t(topological)；

2.把所有沒有依賴頂點的節點放入q；

3.當q還有頂點的時候，執行下面步驟：

3.1從q中取出乙個頂點n(將n從q中刪掉)，並放入t(將n加入到結果集中)；

3.2對n每乙個鄰接點m(n是起點，m是終點)；

3.2.1去掉邊;

3.2.2如果m沒有依賴頂點，則把m放入q;

注：頂點a沒有依賴頂點，是指不存在以a為終點的邊。

以上圖為例，來對拓撲排序進行演示。

第1步：將b和c加入到排序結果中。

頂點b和頂點c都是沒有依賴頂點，因此將c和c加入到結果集t中。假設abcdefg按順序儲存，因此先訪問b，再訪問c。訪問b之後，去掉邊和，並將a和d加入到佇列q中。同樣的，去掉邊和，並將f和g加入到q中。

(01) 將b加入到排序結果中，然後去掉邊和；此時，由於a和d沒有依賴頂點，因此並將a和d加入到佇列q中。

(02) 將c加入到排序結果中，然後去掉邊和；此時，由於f有依賴頂點d，g有依賴頂點a，因此不對f和g進行處理。

第2步：將a,d依次加入到排序結果中。

第1步訪問之後，a,d都是沒有依賴頂點的，根據儲存順序，先訪問a，然後訪問d。訪問之後，刪除頂點a和頂點d的出邊。

第3步：將e,f,g依次加入到排序結果中。

因此訪問順序是：b -> c -> a -> d -> e -> f -> g

拓撲排序是對有向無向圖的排序。下面以鄰接表實現的有向圖來對拓撲排序進行說明。

1. 基本定義

// 鄰接表中表對應的鍊錶的頂點
typedef struct _enode
enode, *penode;
// 鄰接表中表的頂點
typedef struct _vnode
vnode;
// 鄰接表
typedef struct _lgraph
lgraph;

(01)lgraph是鄰接表對應的結構體。 vexnum是頂點數，edgnum是邊數；vexs則是儲存頂點資訊的一維陣列。

(02)vnode是鄰接表頂點對應的結構體。 data是頂點所包含的資料，而firstedge是該頂點所包含鍊錶的表頭指標。

(03)enode是鄰接表頂點所包含的鍊錶的節點對應的結構體。 ivex是該節點所對應的頂點在vexs中的索引，而nextedge是指向下乙個節點的。

2. 拓撲排序

/*
* 拓撲排序
* * 引數說明：
*     g -- 鄰接表表示的有向圖
* 返回值：
*     -1 -- 失敗(由於記憶體不足等原因導致)
*      0 -- 成功排序，並輸入結果
*      1 -- 失敗(該有向圖是有環的)
*/int topological_sort(lgraph g)
}// 將所有入度為0的頂點入佇列
for(i = 0; i < num; i ++)
if(ins[i] == 0)
queue[rear++] = i;          // 入佇列
while (head != rear)                // 佇列非空
}if(index != g.vexnum)
// 列印拓撲排序結果
printf("== topsort: ");
for(i = 0; i < num; i ++)
printf("%c ", tops[i]);
printf("\n");
free(queue);
free(ins);
free(tops);
return 0;
}

說明：

(01)queue的作用就是用來儲存沒有依賴頂點的頂點。它與前面所說的q相對應。

(02)tops的作用就是用來儲存排序結果。它與前面所說的t相對應。

用頂點表示活動，用弧表示活動之間的優先關係，這樣的有向圖為頂點表示活動的網，稱之為aov網(activity on vertex network)。aov網中的弧表示活動之間存在的某種制約關係

設g(v，e)是乙個具有一條路徑，則在頂點序列中頂點vi必在頂點vj之前，這樣的頂點序列為乙個拓撲序列

拓撲排序：就是對乙個有向圖構造拓撲序列的過程。如果構造時網的全部頂點都被輸出，則說明它不存在環的aov網；如果輸出頂點數少了，說明這個網存在環，不是aov網

拓撲排序演算法

思路：從aov網中選擇乙個入度為0的頂點輸出（入度為0代表沒有頂點的順序在此頂點的前面），然後刪去此頂點，並刪除以此頂點為尾的弧，繼續重複此步驟，直到輸出全部頂點或者aov網中不存在入度為0的頂點為止。

資料結構：

data

firstedge

入度的數目：因為演算法過程中始終需要查詢入度為0的頂點

第乙個鄰接點

①之所以用到鄰接表，是因為要刪除頂點，鄰接表會更加方便；②可以利用棧，用來儲存處理過程中入度為0的頂點，目的是為了避免每個查詢是都要去遍歷頂點表棧有沒有入度為0的頂點

入棧的時間複雜度為o(n)，而之後的while迴圈，每個頂點進一次棧，出一次棧，入度減1的操作工執行了e次，所以整個演算法的時間複雜度為o( n+e )

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