動態規劃（dynamic programming)與分治法相似，都是通過組合子問題的解來求解原問題，動態規劃應用於子問題重疊的情況，即不同的子問題具有公共的子子問題。通常按照下面4個步驟來設計乙個動態規劃演算法：
1. 刻畫乙個最優解的結構特徵。
2. 遞迴地定義最優解的值
3. 計算最優解的值，通常採用自底向上的方法
4. 利用計算出的資訊構造乙個最優解
這是演算法導論上的定義，但是這個定義對於初學者來說並沒有很大的幫助，因為不知道如何劃分子問題和刻畫最優解的結構
動態規劃的本質是對問題的狀態的定義和轉態轉移方程的定義
動態規劃是通過拆分問題，定義問題狀態和狀態之間的關係，使得問題能夠以遞推（或者說分治）的方式去解決。但如何拆分問題才是動態規劃的核心，而拆分問題靠的是狀態的定義和狀態方程的定義。
1.1 狀態的定義
現舉乙個列子：
給定乙個數列，長度為n，
求這個數列的最長上公升（遞增）子數列（lis）的長度.以 1
7283
4為例。
這個數列的最長遞增子數列是 123
4，長度為4；
次長的長度為3， 包括 1
78; 1
23 等.
所以我麼重新定義這個問題
給定乙個長度為n的數列。 設f
k 為：以數列中第k項結尾的最長遞增子串行的長度. 求f
1...
fn的最大值
很顯然這個問題與原問題是等價的。
而對於f
k 來說，f1
.. fk
−1都是fk
的子問題：因為以第k項結尾的最長遞增子串行(簡稱lis)，包含著以第1 … k 項結尾的lis。
上述問題中fk
稱之為狀態，定義中的」fk
為數列中第k項結尾的lis的長度」就叫做狀態的定義。之所以把fk
叫做」狀態」而不是」問題」,一是因為避免與原問題中」問題」混淆，二是因為這個新問題是數學化定義的。
當然，我們可以使用不同的視角來定義這個問題：
給定乙個長度為n的數列， 設f
i,k 為：
在前i項中，長度為k的最長遞增子串行中，最後一位的最小值。 1≤
k≤n
若在前i項中，不存在長度為k的最長遞增子串行，則fi
,k為正無窮。
求最大的x，使得fn
,x不為正無窮。
這個問題的定義與原問題也是等價的。
上述的fi,
k 就是狀態，定義中的「fi
,k為：在前項中，長度為k 的最長遞增子串行中，最後一位的最小值」就是對狀態的定義。
1.2 什麼是狀態轉移方程？
上述狀態定義好之後，轉態和轉態之間的關係式，就叫做狀態轉移方程
對於lis問題，第一種定義： 設f
k 為：以數列中第k項結尾的最長遞增子串行的長度。
設a為題中數列，轉態轉移方程為： f1
=1(根據定義匯出邊界情況) fk
=max
(fi+
1|ak
>ai
,i∈(
1...
k−1)
(k>1)
文字解釋為：
以第k項結尾的lis的長度是：保證第i項小的情況下，以第i項結尾的lis長度加1的最大值，取遍i的所有值(i小於k).
第二種定義： 設f
i,k 為：在數列前i項中，長度為k的遞增子串行中，最後一位的最小值
設a為題中數列，狀態轉移方程為： 若a
i>fi
−1,k
−1則fi,
k=mi
n(ai
,fi−
1,k)
否則：fi
,k=f
i−1,
k （邊界情況需要分類討論較多，在此不列出，需要根據狀態定義匯出邊界情況。）大家套著定義讀一下公式就可以了，應該不難理解，就是有點繞。
這裡可以看出，這裡的狀態轉移方程，就是定義了問題和子問題之間的關係。
可以看出，狀態轉移方程就是帶有條件的遞推式。
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