本篇文章我將講述快速排序的基本思想，實現，和時間複雜度的深入分析。
基本思想：選取待排序列中的某個元素t，然後按照與該元素的大小關係重新整理序列中的元素，使得整理後的序列中排在t以前的元素均小於t，排在t以後的元素均大於等於t，我們將t稱為劃分元素。此時可以保證此時t的位置一定和最終有序序列t的位置相同，故我們可以選取t以前和以後的兩個子串行作為新的序列去做同樣的處理。不斷遞迴去處理直至每個元素都調整到它對應的位置上，最終使得整個序列有序。
由以上可知，快速排序是通過反覆的對原序列進行劃分來達到排序的目的，所以快排是一種基於劃分的排序方法。
下面給出兩個不同版本的實現：
//1.《演算法導論》上的實現
quicksort(a, p, r)
if p < r
q = partition(a, p, r)
quicksort(a, p, q-1)
quicksort(a, q+1, r)
partition(a, p, r)
x = a[r];
i = p-1
;for j = p to r-1
ifa[j] <= x
i = i + 1
exchange a[i] wich a[j]
exchange a[i+1] with a[r]
return i+1
partition總是選擇乙個x=a[r]作為主元，並圍繞它來劃分子陣列a[p…r]，隨著程式的執行，陣列被劃分成4個（可能有空的）區域。for迴圈的每一輪迭代的開始，每乙個區域都滿足都滿足一定的性質：
1.若p <=k <= i， 則a[k] <= x。
2.若i+1 <= k <= j-1，則a[k] > x。
3.若 j <= k <= r-1，則a[k]可能為任意一種情況。
4.若 k=r，則a[k] = x。
劃分過程示例：
//2.另一種更常用的實現
void quicksort(int a, int lo, int hi)
s[i] = tmp;
quicksort(a, lo, i-1);
quicksort(a, i+1, hi);
}
下面是單鏈表來實現快排的**：
struct node
};node *partion(node *begin, node *end)
q = q->next;
}swap(p->key, begin->key);
return p;
}void quicksort(node *begin, node *end)
}
在最壞情況下，n個元素的陣列被切分為n-1個元素和0個元素的兩部分，partition因為要經歷n-1次迭代，所以執行代價為ө(n)。即：t(n) = t(n-1) + t(0) + ө(n) = t(n-1) + ө(n) （元素數為0時，quicksort直接返回，所以執行代價為ө(1)，利用代換法，可以得到最壞情況下快速排序演算法的執行時間為ө(n^2)。
在最好情況下，每次partition都得到兩個元素數分別為floor(n/2)和ceiling(n/2)-1的子陣列，這種情況下：t(n) ≤ 2*t(n/2) + ө(n)，所以最佳情況下快速排序演算法的執行時間為ө(n*lg(n))。
考慮平均情況，假設每次都以9:1的例劃分陣列，則得到：
t(n) ≤ t(9*n/10) + t(n/10) + ө(n)
它的遞迴樹如下：
樹的到最近的葉結點的路徑長度為log_10(n)，在這層之前這棵樹每層都是滿的，所以執行時間為cn，而越往下直至最底層log_(10/9) (n)，每層的代價都會小於cn。所以以9:1劃分情況下，總的執行時間
t(n) ≤ log_(10/9) (n) = o(lg(n))
事實上只要以常數比例劃分陣列的情況，哪怕是99:1，執行時間也仍然為o(lg(n))，只不過o記號中隱含的常量因子要大些。而一般情況下，平均下來的劃分情況不應該比9:1差，直觀上看來平均情況下快速演算法的執行時間為o(lg(n))。
下面來分析一下平均情況。快速排序主要在遞迴地呼叫partition過程。我們先看下partition呼叫的總次數，因為每次劃分時，都會選出乙個主元元素（作為基準、將陣列分隔成兩部分的那個元素），它將不會參與後續的quicksort和patition呼叫裡，所以patition最多只能執行n次。在 partiton過程裡，有一段迴圈**（第3至第8行，將各元素與主元元素比較，並根據需要將元素調換）。我們把這段迴圈**單獨提出來考慮，這樣在每次patitioin呼叫裡，除迴圈**外的其它**的執行時間為o(1)，所以在整個排序過程中，除迴圈**外的其它**的總執行時間為o(n*1) = o(n)。
接下來分析整個排序過程中，上述迴圈**的總執行時間（注意：不是某次patition呼叫裡的迴圈**的執行時間）。可以看到在迴圈**裡，陣列中的各個元素之間進行比較。設總的比較次數為x，因為一次比較操作本身消耗常量時間，所以比較的總時間為o(x)。如此整個排序過程的執行時間為o(n+x)。
為了得到演算法總執行時間，我們需要確定總的比較次數x的值。為了便於分析，我們將陣列a中的元素重新命名為 z_1，z_2，z_3，…，z_n。其中z_i是陣列a中的第i小的元素。此外，我們還定義z_i_j = 為z_i和z_j之間（包含這兩個元素）的元素集合。
我們用指示器隨機變數x_i_j = i。這樣總的比較次數：
x = ∑ ∑ x_i_j
求期望得：
e[x] = e[∑ ∑ x_i_j] = ∑ ∑ e[x_i_j] = ∑ ∑ pr
注意兩個元素一旦被劃分到兩個不同的區域後，則不可能相互進行比較。它們能進行比較的條件只能為：z_i和z_j在同乙個區域，且z_i或z_j被選為主元元素，這樣：
pr = pr = pr + pr
= 1/(j-i+1) + 1/(j-i+1) = 2/(j-i+1) （因為兩事件互斥，所以概率可以直接相加）
得到x_i_j的概率後，就可以得到總的比較次數：
e[x] = ∑ ∑ pr = ∑ ∑ 2/(j-i+1)
設變數k = j - 1，則上式變為：
e[x] = ∑ ∑ 2/(k+1)
< ∑ ∑ 2/k
= ∑ o(lg(n)) （調合級數求和）
= o(n*lg(n))
所以在平均情況下快速排序的執行時間為o(n*lg(n))。
參考資料：
1.《演算法導論》
2.
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