1、窮舉法
窮舉法是最基本的演算法設計策略,其思想是列舉出問題所有的可能解,逐一進行判別,找出滿足條件的解.
窮舉法的運用關鍵在於解決兩個問題：
在運用窮舉法時,容易出現的問題是可能解過多,導致演算法效率很低,這就需要對列舉可能解的方法進行優化.
以題1041--純素數問題為例,從1000到9999都可以看作是可能解,可以通過對所有這些可能解逐一進行判別,找出其中的純素數,但只要稍作分析,就會發現其實可以大幅度地降低可能解的範圍.根據題意易知,個位只可能是3、5、7,再根據題意可知,可以在3、5、7的基礎上,先找出所有的二位純素數,再在二位純素數基礎上找出三位純素數,最後在三位純素數的基礎上找出所有的四位純素數.
2、分治法
分治法也是應用非常廣泛的一種演算法設計策略,其思想是將問題分解為若干子問題,從而可以遞迴地求解各子問題,再綜合出問題的解.
分治法的運用關鍵在於解決三個問題：
我們熟知的如漢諾塔問題、折半查詢演算法、快速排序演算法等都是分治法運用的典型案例.
以題1045--square coins為例,先對題意進行分析,可設乙個函式f(m,n)等於用面值不超過n2的貨幣構成總值為m的方案數,則容易推導出：
f(m,n) = f(m-0*n*n,n-1)+f(m-1*n*n,n-1)+f(m-2*n*n,n-1)+...+f(m-k*n*n,n-1)
這裡的k是幣值為n2的貨幣最多可以用多少枚,即k=m/(n*n).
也很容易分析出,f(m,1) = f(1,n) = 1
對於這樣的題目,一旦分析出了遞推公式,程式就非常好寫了.所以在動手開始寫程式之前,分析工作做得越徹底,邏輯描述越準確、簡潔,寫起程式來就會越容易.
3、動態規劃法
動態規劃法多用來計算最優問題,動態規劃法與分治法的基本思想是一致的,但處理的手法不同.動態規劃法在運用時,要先對問題的分治規律進行分析,找出終結子問題,以及子問題向父問題歸納的規則,而演算法則直接從終結子問題開始求解,逐層向上歸納,直到歸納出原問題的解.
動態規劃法多用於在分治過程中,子問題可能重複出現的情況,在這種情況下,如果按照常規的分治法,自上向下分治求解,則重複出現的子問題就會被重複地求解,從而增大了冗餘計算量,降低了求解效率.而採用動態規劃法,自底向上求解,每個子問題只計算一次,就可以避免這種重複的求解了.
動態規劃法還有另外一種實現形式,即備忘錄法.備忘錄的基本思想是設立乙個稱為備忘錄的容器,記錄已經求得解的子問題及其解.仍然採用與分治法相同的自上向下分治求解的策略,只是對每乙個分解出的子問題,先在備忘錄中查詢該子問題,如果備忘錄中已經存在該子問題,則不須再求解,可以從備忘錄中直接得到解,否則,對子問題遞迴求解,且每求得乙個子問題的解,都將子問題及解存入備忘錄中.
例如,在題1045--square coins中,可以採用分治法求解,也可以採用動態規劃法求解,即從f(m,1)和f(1,n)出發,逐層向上計算,直到求得f(m,n).
在競賽中,動態規劃和備忘錄的思想還可以有另一種用法.有些題目中的可能問題數是有限的,而在一次執行中可能需要計算多個測試用例,可以採用備忘錄的方法,預先將所有的問題的解記錄下來,然後輸入乙個測試用例,就查備忘錄,直接找到答案輸出.這在各問題之間存在父子關係的情況下,會更有效.例如,在題1045--square coins中,題目中已經指出了最大的目標幣值不超過300,也就是說問題數只有300個,而且各問題的計算中存在重疊的子問題,可以採用動態規劃法,將所有問題的解先全部計算出來,再依次輸入測試用例資料,並直接輸出答案.
4、回溯法
回溯法是基於問題狀態樹搜尋的求解法,其可適用範圍很廣.從某種角度上說,可以把回溯法看作是優化了的窮舉法.回溯法的基本思想是逐步構造問題的可能解,一邊構造,一邊用約束條件進行判別,一旦發現已經不可能構造出滿足條件的解了,則退回上一步構造過程,重新進行構造.這個退回的過程,就稱之為回溯.
回溯法在運用時,要解決的關鍵問題在於：
回溯法的經典案例也很多,例如全排列問題、n後問題等.
5、貪心法
貪心法也是求解最優問題的常用演算法策略,利用貪心法策略所設計的演算法,通常效率較高,演算法簡單.貪心法的基本思想是對問題做出目前看來最好的選擇,即貪心選擇,並使問題轉化為規模更小的子問題.如此迭代,直到子問題可以直接求解.
基於貪心法的經典演算法例如：哈夫曼演算法、最小生成樹演算法、最短路徑演算法等
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