B樹 B 樹 B 樹 B 樹

即二叉搜尋樹：

1.所有非葉子結點至多擁有兩兒子（left和right）；

2.所有結點儲存乙個關鍵字；
3.非葉子結點的左指標指向小於其關鍵字的子樹，右指標指向大於其關鍵字的子樹；

b樹的搜尋，從根結點開始，如果查詢的關鍵字與結點的關鍵字相等，那麼就命中；

否則，如果查詢關鍵字比結點關鍵字小，就進入左兒子；如果比結點關鍵字大，就進入右兒子；

如果左兒子或右兒子的指標為空，則報告找不到相應的關鍵字；

如果b樹的所有非葉子結點的左右子樹的結點數目均保持差不多（平衡），那麼b樹的搜尋效能逼近二分查詢；

但它比連續記憶體空間的二分查詢的優點是: 改變b樹結構（插入與刪除結點）不需要移動大段的記憶體資料，甚至通常是常數開銷；

但b樹在經過多次插入與刪除後，有可能導致不同的結構:

右邊也是乙個b樹，但它的搜尋效能已經是線性的了；同樣的關鍵字集合有可能導致不同的樹結構索引；所以，使用b樹還要考慮盡可能讓b樹保持左圖的結構，和避免右圖的結構，也就是所謂的「平衡」問題；

實際使用的b樹都是在原b樹的基礎上加上平衡演算法，即「平衡二叉樹」；如何保持b樹結點分布均勻的平衡演算法是平衡二叉樹的關鍵；平衡演算法是一種在b樹中插入和刪除結點的策略；

是一種多路搜尋樹（並不是二叉的）：

1） 每個節點 x 有下面屬性：

-節點 x 有關鍵字 n 個
-關鍵字本身非降序排列
-有乙個布林值表示本節點是否是葉子節點
2）每個內部節點x 還包含 n+1 個指向孩子的指標
3）每個葉節點具有相同的深度
4）每個節點包含的關鍵字個數有上界和下界, 使用b樹的最小度數 t >=2 表示
-除根節點外每個節點必須至少有 t-1 個關鍵字，因此，每個內部節點至少有 t 個孩子
-每個節點最多包含 2t-1 個關鍵字，因此， 乙個內部節點最多有 2t 個孩子。
t =2 時是最簡單的。每個內部節點有2、3、4個孩子。即一顆2-3-4樹。

b-樹的搜尋，從根結點開始，對結點內的關鍵字（有序）序列進行二分查詢，如果

命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指標為

空，或已經是葉子結點；

b-樹的特性：

1.關鍵字集合分布在整顆樹中；

2.任何乙個關鍵字出現且只出現在乙個結點中；
3.搜尋有可能在非葉子結點結束；
4.其搜尋效能等價於在關鍵字全集內做一次二分查詢；
5.自動層次控制；

一棵m階的b+樹和m階的b樹的異同點在於:

有n棵子樹的結點中含有n個關鍵字；

所有的葉子結點中包含了全部關鍵字的資訊，及指向含有這些關鍵字記錄的指標，且葉子結點本身依關鍵字的大小自小而大的順序鏈結。 (而b樹的葉子節點並沒有包括全部需要查詢的資訊)

所有的非終端結點可以看成是索引部分，結點中僅含有其子樹根結點中最大（或最小）關鍵字。 (而b樹的非終節點也包含需要查詢的有效資訊)

上圖中非終端節點中僅包含子樹根節點中最小關鍵字的指標。

b+-tree的磁碟讀寫代價更低

b+-tree的內部結點並沒有指向關鍵字具體資訊的指標。因此其內部結點相對b樹更小。如果把所有同一內部結點的關鍵字存放在同一盤塊中，那麼盤塊所能容納的關鍵字數量也越多。一次性讀入記憶體中的需要查詢的關鍵字也就越多。相對來說io讀寫次數也就降低了。

舉個例子，假設磁碟中的乙個盤塊容納16bytes，而乙個關鍵字2bytes，乙個關鍵字具體資訊指標2bytes。一棵9階b-tree(乙個結點最多8個關鍵字)的內部結點需要2個盤快。而b+樹內部結點只需要1個盤快。當需要把內部結點讀入記憶體中的時候，b樹就比b+樹多一次盤塊查詢時間(在磁碟中就是碟片旋轉的時間)。

2.b+-tree的查詢效率更加穩定

由於非終結點並不是最終指向檔案內容的結點，而只是葉子結點中關鍵字的索引。所以任何關鍵字的查詢必須走一條從根結點到葉子結點的路。所有關鍵字查詢的路徑長度相同，導致每乙個資料的查詢效率相當。

3. 資料庫索引採用b+樹的主要原因是:

b樹在提高了磁碟io效能的同時並沒有解決元素遍歷的效率低下的問題。正是為了解決這個問題，b+樹應運而生。b+樹只要遍歷葉子節點就可以實現整棵樹的遍歷。而且在資料庫中基於範圍的查詢是非常頻繁的，而b樹不支援這樣的操作（或者說效率太低）

b*-tree是b+-tree的變體，在b+樹的基礎上(所有的葉子結點中包含了全部關鍵字的資訊，及指向含有這些關鍵字記錄的指標)，b*樹中非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指標；b*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*m，即塊的最低使用率為2/3（代替b+樹的1/2）。給出了乙個簡單例項，如下圖所示：

b+樹的**：當乙個結點滿時，分配乙個新的結點，並將原結點中1/2的資料複製到新結點，最後在父結點中增加新結點的指標；b+樹的**只影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指標。

b*樹的**：當乙個結點滿時，如果它的下乙個兄弟結點未滿，那麼將一部分資料移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，並各複製1/3的資料到新結點，最後在父結點增加新結點的指標。

所以，b*樹分配新結點的概率比b+樹要低，空間使用率更高；

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