動態規劃初探

最先聽說動態規劃還是在研究生的最優控制課上，課上介紹了用動態規劃解決最優問題。其實動態規劃（dynamic programming/dp）和分治方法類似，都是通過組合子問題來求解原問題。不過動態規劃應用於問題重疊的情況，即不同的子問題具有公共的子子問題，每個子問題只求一次，而不必重新計算。

就我個人的理解：動態規劃就是將所求的問題分步，每一步的最優解是由當前解和之前的最優解組成。求到最後，也就求出了問題的乙個最優解，因為可會有多個最優解的情況。

應用dp的步驟：

1.刻畫乙個最優解的結構特徵

2.遞迴地定義最優值的解

3.計算最優值的解，通常採用自頂向上的方法

4.利用計算出的資訊構造乙個最優解

一.斐波那契數列問題

運用動態規劃解決的問題需要包括最優子結構或重疊子問題。下面就來舉乙個最常見的用到dp的問題----- fibonacci數列。

斐波那契數列問題，求f(n)的輸出，這是乙個最常見的問題，一般是運用遞迴來做，**如下：

public static int fibonacci(int n)

這是乙個遞迴函式，但是它的效率不高。假設我們求fibonacci(4)，簡寫為f(4)。該遞迴函式的求解過程是這樣的

f(4)=f(3)+f(2);

f(3)=f(2)+f(1);

f(2)=f(1)+f(0);

這裡的f(2)和f(1)都求了兩遍，這裡重複求解，使得效率變低。可以使用動態規劃，因為這個問題具有重疊子問題。我們可以將之前求出的f(n)放在陣列中，而不用再去求它。定義乙個陣列f(n)，用它來儲存每個斐波那契的值。**如下：用陣列儲存以求得的子問題，用空間換時間。

public static int fibonacci(int n)
return f[n];
}

dp還用來解決如揹包問題，問題描述：給定n種物品和一揹包，物品i的重量是wi，其價值是pi，揹包的容量是m，問如何選擇裝入揹包中的物品總價值最大？這就是乙個最優問題的求解。這裡如何求解讀者可以自行思考，下面給出更常見到的演算法問題。

二.最長遞增子串行--lis

問題描述：有乙個長為n的數列a0,a1,a2........a(n-1)。請求出這個序列中最長的單增子序列的長度。單增子序列的定義是：對於任意的 i

這裡定義乙個陣列f[i]，用來儲存陣列a[i]為末尾元素的最長子序列的長度。則f[0]=1; f[i]=max(f[j]

if(f[i]>length) //求f[0]到f[i]的最大值

length=f[i];

}return length;

}這裡時間複雜度為o(n^2)，其實還有更優的演算法使時間達到o(n*logn)，不過不再是用動態規劃解決的。**如下：

public static int longsub(int a)

for(int i=0;i