題目：為什麼正交匹配追蹤(omp)一定能恢復訊號？
就是原來的x=ψθ中的那個θ呢？為什麼通過omp迭代後一定會選出矩陣a的那幾列呢？會不會選擇a的另外幾列，它們的線性組合也滿足y=aθ？本篇來回答這個問題。
首先我們要知道，兩個k稀疏的n維訊號（長度為n的列向量）θk1和θk2，它們的差向量(θk1－θk2)的稀疏度最大不超過2k（當θk1和θk2中的非零項都沒有對應在同一位置時）。
其次我們要回憶rip性質及spark常數，分別可參見《壓縮感知測量矩陣之有限等距性質（restrictedisometry property,rip）》和《壓縮感知測量矩陣之spark常數》。在這兩篇中都提到若要恢復y=aθ中k稀疏的θ，要求感測矩陣a（感測矩陣a=φψ，即測量矩陣φ乘以稀疏矩陣ψ）至少任意2k列不相關。注意，這是壓縮感知中a必須滿足的乙個條件。
這裡的θ為k稀疏的。所以上面的線性組合實際上只有k列，因為其它(n－k)列的組合係數為零。這裡我們將待求的k稀疏θ記為θk1，即y=aθk1。若θk1分別在t1,t2,…,tk共k個位置不為零，大小為θ
t1,θ
t2,θ
t3,…,θ
tk，則
其中at由a中的序號為t1,t2,…,tk的k列組成：at = [at1,at2,at3,…,atk]，而θt是由θ
t1,θ
t2,θ
t3,…,θ
tk組成的列向量：θt = [θ
t1,θ
t2,θ
t3,…,θ
tk]t，t表示轉置。假設我們在使用omp等恢復演算法恢復過程中選擇a的k列並非θk1所對應的k列，即相當於有另外一種線性組合aθk2=y，其中θk2 分別在r1,r2,…,rk共k個位置不為零，大小為θ
r1,θ
r2,θ
r3,…,θ
rk，則
其中ar由a中的序號為r1,r2,…,rk的k列組成：ar = [ar1,ar2,ar3,…,ark]，而θr是由θ
r1,θ
r2,θ
r3,…,θ
rk組成的列向量：θr= [θ
r1,θ
r2,θ
r3,…,θ
rk]t，t表示轉置。這意味著aθk1=aθk2(也可以表示為atθt=arθr)，即a(θk1－θk2)=0。前面我們說了向量(θk1－θk2)的稀疏度最大不超過2k，並且感測矩陣a至少任意2k列不相關（任意2k列不相關的意思是任意2k列的線性組合都不為零，當然任意少於2k列的線性組合也不為零），這與a(θk1－θk2)=0矛盾。所以在感測矩陣a滿足至少任意2k列不相關的前提下，通過omp演算法恢復出的θ是唯一的。
最後我們回過頭來看這個問題，實際上本質就是只要保證從θ到y的對映是一對一的，那麼由某乙個y只能恢復得到某乙個θ，justbecause they are one-to-one。
在文獻[joel a. tropp and anna c.gilbert . signal recovery from random measurements via orthogonal matchingpursuit[j]. ieee transactions on information theory, vol. 53, no. 12, december2007.]中也有類似的證明，有興趣的可以看一下，注意裡面的符號與本文符號的區別即可。裡面提到(n≥2m)，換成本文符號即為(m≥2k)，這個很容易理解，要保證感測矩陣a(m×n矩陣)的任意2k列不相關，即任意取出a的2k列組成乙個矩陣a2k是列滿秩的。若列滿秩，則列的個數必然要大於行的個數，所以(m≥2k)。
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