字串專題小結 Manacher演算法求最長回文串

資料**網路參見（有改動）：

這道題是一道經典的manacher演算法講解題目，manacher是時間複雜度為o(n)的演算法。比起蠻力法：對於o(n)的每乙個點，都掃瞄該點的左右對稱點，這種方法效率顯然是o(n^2)的

演算法巧妙之處：

首先用乙個非常巧妙的方式，將所有可能的奇數/偶數長度的回文子串都轉換成了奇數長度：在每個字元的兩邊都插入乙個特殊的符號。比如 abba 變成 #a#b#b#a#， aba變成 #a#b#a#。為了進一步減少編碼的複雜度，可以在字串的開始加入另乙個特殊字元，這樣就不用特殊處理越界問題，比如$#a#b#a#。前邊的$主要是為了佔位，使得演算法可以從索引1開始。避開處理邊界的情況。下面以字串12212321為例，經過上一步，變成了 s = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";

然後用乙個陣列 p[i] 來記錄以字元s[i]為中心的最長回文子串向左/右擴張的長度（包括s[i]），比如s和p的對應關係：

s # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #

p 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1

(p.s. 可以看出，p[i]-1正好是原字串中回文串的總長度）

下面計算p[i]，注意，由於manacher演算法的處理順序是從左往右掃瞄，則處理到i位時，對於任意j < i,p[j]已經被處理過了。該演算法增加兩個輔助變數id和mx，其中id表示i之前某一回文串的中心位置，id的位置很特殊，它使得id的回文半徑p[id]向右延伸得最遠，最遠的位置即為mx：id+p[id]，也就是最大回文子串的邊界。

這個演算法的關鍵點就在這裡,目的是使mx盡可能大地往右延伸以避免大量地計算前邊不必要計算的重複值：如果mx > i，那麼p[i] >= min(p[2 * id - i], mx - i)。

具體**如下：

if(mx > i)p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i));elsep[i] = 1;

當 mx - i > p[j] 的時候，以s[j]為中心的回文子串包含在以s[id]為中心的回文子串中，由於 i 和 j 對稱，以s[i]為中心的回文子串必然包含在以s[id]為中心的回文子串中（想象下圖以id為中軸進行旋轉），所以必有 p[i] = p[j]，見下圖。

當 p[j] > mx - i 的時候，以s[j]為中心的回文子串不完全包含於以s[id]為中心的回文子串中，但是基於對稱性可知，下圖中兩個綠框所包圍的部分是相同的，也就是說以s[i]為中心的回文子串，其向右至少會延伸到mx的位置，也就是說 p[i] >= mx - i。至於mx之後的部分是否對稱，就只能乙個乙個匹配了。

對於 mx <= i 的情況，無法對 p[i]做更多的假設，只能p[i] = 1，然後再去匹配了

下面給出原文，進一步解釋演算法為線性的原因

下面附hdu3068的**：

#include #include using namespace std;  
const int max = 110010;  
char str[max];  
char res[max << 1];  
int p[max << 1];  
int n;  
void process()  
void manacher()  
if ( p[i] > max )  
max = p[i];  
}  printf("%d\n",max - 1 );  
}  int main()  
return 0;

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