定義：對於滿足一組函式依賴f的關係模式r，其任何乙個關係r，若函式依賴x→y都成立，則稱f邏輯蘊含x→y。
armstrong公理系統：設u為屬性集總體，f是u上的一組函式依賴，浴室有關係模式r。對r來說有以下的推理規則：
1）自反律：若y包含於x包含於u，則x→y為f所蘊含。
2）增廣律：若x→y為f所蘊含，且z包含於u，則xz→yz為f所蘊含。
3）傳遞律：若x→y及y→z為f所蘊含，則x→z為f所蘊含。
根據上述三條推理規則可以得到下邊三條推理規則：
1）合併規則：由x→y，x→z，有x→yz。
2）偽傳遞規則：由x→y，wy→z，有wx→z。
3）分解規則：由x→y及z包含於y，有x→z。
定義：在關係模式r中為f所邏輯蘊含的函式依賴全體叫做f的閉包，記做f+。
定義：設f為屬性集u上的一組函式依賴，x包含於u，x[+][f]=,x[+][f]稱為屬性集x關於函式依賴集f的閉包。
演算法：求屬性x關於u上的函式依賴集f的閉包
（1）x(0)=x，i=0
（2）求b，要求b=
（3）x（i+1）=b∪x（i）
（4）判斷x（i+1）=x（i）
（5）若相等或x（i）=u則x（1）就為次閉包，演算法終止
（6）若否，則i=i+1，返回第（2）步。
定義：如果函式依賴集f滿足下列條件，則稱f為乙個極小函式依賴集。
（1）f中任一函式依賴的右部僅含有乙個屬性。
（2）f中不存在這樣的函式依賴x→a，使得f與f-等價。（無冗餘函式依賴）
（3）f中不存在這樣的函式依賴x→a，使得x有真子集z使得f-∪與f等價。（無部分函式依賴）
每乙個函式依賴集f均等價於乙個極小函式依賴集。
定義：關係模式r的乙個分解是指p=
其中u=u1∪u2∪...∪un 並且沒有ui包含於uj
定義：函式依賴集合的乙個覆蓋fi叫做f在屬性ui上的投影。
1）分解具有「無損連線性」
2）分解要「保持函式依賴」
3）分解既要具有「無損連線性」也要「保持函式依賴」
定義乙個記號p是r的乙個分解，r是r的乙個關係，定義mp(r)=全連線πri(r)，即mp(r)是r在p中各種關係模式上的投影的連線。
則有：（1） r包含於mp(r)
（2）若s=mp(r)則πri(s)=ri
（3）mp(mp(r))=mp(r)
定義：p是r的乙個分解，若對r的任何乙個關係r均有r=mp(r)成立，則稱分解p具有無損連線性。
演算法：判斷乙個分解的無損連線性。
（1）建立一張n列k行的表，每一列對應乙個屬性，每一行對應分解中的乙個關係模式。若屬性aj屬於ui，則在j列i行交叉處填上aj，否則填bij。
（2）對每乙個fdi做下列操作：找到xi所對應的列中具有相同符號的那些行。考察這些行中li列中的元素，若其中有ali則全部改為ali，否則全部改為bmli
若某次更改之後，有一行稱為a1,a2,...,an。則演算法終止。p具有無損連線性。否則p不具有無損連線性。
合成法**換為3nf的保持函式依賴的分解）
（1）對於 r中的函式依賴集f進行「極小化處理」
（2）找出不在f中出現的屬性，把這樣的屬性構成乙個關係模式。把這些屬性從u中去掉，剩餘的屬性仍記為u
（3）若有x→a∈f且xa=u，則p=，演算法終止
（4）否則，對f按具有相同左部的原則分組（假定為k組），每一組的函式依賴f『i所設計的全部屬性形成乙個屬性集ui。若ui包含於uj（ui≠uj），就去掉ui。
進一步地，轉換為3nf既有無損連線性又有函式依賴的分解。
（1）x是r的碼，r已經根據合成法分解為p，另t=p∪r*
（2）若有某個ui，x包含於ui，將r*從t中去掉。
（3）t就是所求的分解。
分解法**換為bcnf的無損連線分解）
（1）令p=
（2）檢查p中個關係模式是否均屬於bcnf。若是，則演算法終止。
（3）必有x→a∈fi+（a∉x）且x非ri的碼，因此xa是ui的真子集。對ri進行分解q=，us1=xa，us2=ui-，以q代替r(ui,fi)，返回第二步。
這是乙個自頂向下的演算法，它自然地形成一棵對r(u,f)的二叉分解樹。
資料庫系統概論02 關聯式資料庫
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資料庫系統概論 第六章 關聯式資料庫理論
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