演算法進化歷程之「水壺問題」

問題描述：假設給定了n個紅色的水壺和n個藍色的水壺，它們的形狀和尺寸都不相同。所有紅色水壺中所盛水的量都不一樣，藍色水壺也是一樣。此外，對於每個紅色的水壺，都有乙個對應的藍色水壺，兩者所盛的水量是一樣的。反之亦然。

你的任務是將所盛水量一樣的紅色水壺和藍色水壺找出來。為了達到這一目的，可以執行如下操作:挑選出一對水壺，其中乙個是紅色的，另乙個是藍色的：將紅色水壺中倒滿水；再將水倒入到藍色的水壺中。通過這個操作，可以判斷出來這兩隻水壺的容量哪乙個大，或者是一樣大。假設這樣的比較需要乙個時間單位。你的目標是找出乙個演算法，它通過執行最少次數的比較，來確定分組和配對問題。記住不能直接比較兩個紅色的或兩個藍色的水壺。

思路分析：

為了驗證配對是否正確，我在設計水壺的資料結構時安排了兩個屬性：水壺的儲水量和水壺的編號。配對結束後，表示紅藍水壺的陣列中下標相同的水壺儲水量相同，但編號不一定相同。

資料結構如下：

typedef structkettle

int value;//水壺的儲水量

int number; //水壺的編號

} kettle;

為了確保每個紅色水壺中所盛水的量都不一樣，並且都有乙個對應的藍色水壺，我設計了乙個函式為紅壺和藍壺隨機初始化各不相同的儲水量。**如下：

void creatkettle(kettle bluek, kettleredk, int n)

inti, j, pos, temp;

for(i=0; ibluek[i].value = redk[i].value =bluek[i].number = redk[i].number = i + 1;

for (i=0; ipos = rand() % n;

temp = bluek[0].value;

for (j=0; jbluek[j].value = bluek[j+1].value;

bluek[pos].value = temp;

pos = rand() % n;

temp = redk[0].value;

for (j=0; jredk[j].value = redk[j+1].value;

redk[pos].value = temp;

版本一：簡明易懂的版本

先介紹最簡單的方法，拿出第1個紅色水壺，然後從n個藍色水壺中去配對，需要θ(n)次比較，找到配對的藍水壺後，將其交換到最左邊，使其下標與對應紅水壺的下標相同。

重複上述操作，直到所有的紅色水壺都完成了配對。總的時間複雜度為θ(n^2)。

**如下：

void match_1(kettle bluek, kettle redk,int n)//最簡單的配對演算法，時間複雜度為 θ(n^2)

inti, j;

for(i=0; ifor(j=i; jif(redk[i].value == bluek[j].value)

swap(&bluek[j],&bluek[i]);

break;

void swap(kettle *a, kettle *b)

kettletemp = *a;

*a= *b;

*b= temp;

void match_2(kettle bluek, kettle redk,int n)

inti, pos;

pos= partition(bluek, redk[0].value, 0, n-1);//先配對第乙個紅壺

swap(&bluek[0],&bluek[pos]);//將已配對水壺交換到最左邊

for(i=1; iif(redk[i].value < bluek[i-1].value)

pos= partition(bluek, redk[i].value, i, pos);//在[i,pos]範圍內尋找配對

else

pos= partition(bluek, redk[i].value, pos+1, n-1);//在[pos+1, n-1]範圍內尋找配對

swap(&bluek[i],&bluek[pos]);//將已配對水壺交換到最左邊

match_2()用到乙個分割函式partition()，這是乙個類似快速排序的分割函式，可以以值為x的元素為樞紐元，將陣列k分成兩部分，並返回樞紐元的位置。**如下：

int partition(kettle k, int x, int left,int right)

while(left < right)

while(k[left].value < x)

left++;

while(k[right].value > x)

right--;

swap(&k[left],&k[right]);

returnleft;

版本三：類快速排序演算法

由於每個紅色水壺中所盛水的量都不一樣，並且都有乙個對應的藍色水壺，因此我們只需分別將其進行排序即可。但是不能直接比較同種顏色的水壺，只有顏色不一樣的水壺才能進行比較，因此需要交叉比較，互為樞紐元素。

整個排序過程中利用快速排序的思想，呼叫了版本二中的分割函式partition()，採用交叉分割的方法，具體描述如下：

1. 從紅色水壺序列中隨機選擇乙個作為樞軸元素

2. 利用紅色水壺樞軸元素redk[posredk]對藍色水壺序列進行分割，並返回對應藍色水壺的編號posbluek。

3. 利用bluek[posbluek]對紅色水壺序列進行進行分割，並返回對應紅色水壺的編號posredk，很顯然此時posredk ==posbluek。

4．遞迴呼叫函式quickmatch()，對分割好的序列進行配對。

演算法的時間複雜度為o(nlgn)，最壞的情況下時間複雜度為o(n^2)。

**如下：

void match_3(kettle bluek, kettle redk,int n)//快速配對演算法的驅動函式

quickmatch(bluek,redk, 0, n-1);

void quickmatch(kettle bluek, kettleredk, int left, int right)//類似快速排序的快速配對演算法

intposbluek, posredk;

if(left < right)

posredk= rand() % (right-left+1) + left; //從紅色水壺中隨機選擇乙個作為樞軸元素

posbluek= partition(bluek, redk[posredk].value, left, right);//將藍壺分成兩堆，並返回配對藍壺的編號

posredk= partition(redk, bluek[posbluek].value, left, right); //將紅壺分成兩堆，並返回配對紅壺的編號

//遞迴呼叫函式quickmatch()，對分割好的序列進行配對

quickmatch(bluek,redk, left, posredk-1);

quickmatch(bluek,redk, posredk+1, right);

測試主函式：

int main(void)

kettle bluek[maxsize], redk[maxsize];

int i, n = 6;

creatkettle(bluek, redk, n);

print(bluek, redk, n);

match_1(bluek,redk, n);

// match_2(bluek,redk, n);

// match_3(bluek,redk, n);

print(bluek, redk, n);

return 0;

輸出資料函式：

void print(kettle bluek, kettle redk,int n)

inti;

for(i=0; iprintf("bluek[%d]: %d, %d redk[%d]: %d,%d\n", i, bluek[i].number, bluek[i].value, i, redk[i].number, redk[i].value);

printf("\n");

演算法進化歷程之「水壺問題」

演算法進化歷程之剪刀石頭布

最大m子段和問題演算法進化歷程

最大連續子串行之和演算法進化歷程

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