陣列中三個只出現一次的數字

題目：乙個陣列中有三個數字a、b、c只出現一次，其他數字都出現了兩次。請找出三個只出現一次的數字。

分析：在部落格中我們討論了如何在乙個陣列中找出兩個只出現一次的數字。在這道題中，如果我們能夠找出乙個只出現一次的數字，剩下兩個只出現一次的數字就很容易找出來了。

如果我們把陣列中所有數字都異或起來，那最終的結果（記為x）就是a、b、c三個數字的異或結果（x=a^b^c）。其他出現了兩次的數字在異或運算中相互抵消了。

我們可以證明異或的結果x不可能是a、b、c三個互不相同的數字中的任何乙個。我們用反證法證明。假設x等於a、b、c中的某乙個。比如x等於a，也就是a=a^b^c。因此b^c等於0，即b等於c。這與a、b、c是三個互不相同的三個數相矛盾。

由於x與a、b、c都各不相同，因此x^a、x^b、x^c都不等於0。

我們定義乙個函式f(n)，它的結果是保留數字n的二進位制表示中的最後一位1，而把其他所有位都變成0。比如十進位制6表示成二進位制是0110，因此f(6)的結果為2（二進位制為0010）。f(x^a)、f(x^b)、f(x^c)的結果均不等於0。

接著我們考慮f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的結果。由於對於非0的n，f(n)的結果的二進位制表示中只有乙個數字是1，因此f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的結果肯定不為0。這是因為對於任意三個非零的數i、j、k，f(i)^f(j)的結果要麼為0，要麼結果的二進位制結果中有兩個1。不管是那種情況，f(i)^f(j)都不可能等於f(k)，因為f(k)不等於0，並且結果的二進位制中只有一位是1。

於是f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的結果的二進位制中至少有一位是1。假設最後一位是1的位是第m位。那麼x^a、x^b、x^c的結果中，有乙個或者三個數字的第m位是1。

接下來我們證明x^a、x^b、x^c的三個結果第m位不可能都是1。還是用反證法證明。如果x^a、x^b、x^c的第m位都是1，那麼a、b、c三個數字的第m位和x的第m位都相反，因此a、b、c三個數字的第m位相同。如果a、b、c三個數字的第m位都是0，x=a^b^c結果的第m位是0。由於x和a兩個數字的第m位都是0，x^a結果的第m位應該是0。同理可以證明x^b、x^c第m位都是0。這與我們的假設矛盾。如果a、b、c三個數字的第m位都是1，x=a^b^c結果的第m位是1。由於x和a兩個數字的第m位都是1，x^a結果的第m位應該是0。同理可以證明x^b、x^c第m位都是0。這還是與我們的假設矛盾。

因此x^a、x^b、x^c三個數字中，只有乙個數字的第m位是1。於是我們找到了能夠區分a、b、c三個數字的標準。這三個數字中，只有乙個數字滿足這個標準，而另外兩個數字不滿足。一旦這個滿足標準數字找出來之後，另外兩個數字也就可以找出來了。

這種思路的c++**如下：

void getthreeunique(vector& numbers, vector& unique)

if(numbers.size() < 3)

return;

int xorresult = 0;

vector::iterator iter = numbers.begin();

for(; iter != numbers.end(); ++iter)

xorresult ^= *iter;

int flags = 0;

for(iter = numbers.begin(); iter != numbers.end(); ++iter)

flags ^= lastbitof1(xorresult ^ *iter);

flags = lastbitof1(flags);

// get the first unique number

int first = 0;

for(iter = numbers.begin(); iter != numbers.end(); ++iter)

if(lastbitof1(*iter ^ xorresult) == flags)

first ^= *iter;

unique.push_back(first);

// move the first unique number to the end of array

for(iter = numbers.begin(); iter != numbers.end(); ++iter)

if(*iter == first)

swap(*iter, *(numbers.end() - 1));

break;

// get the second and third unique numbers

gettwounique(numbers.begin(), numbers.end() - 1, unique);

int lastbitof1(int number)

return number & ~(number - 1);

void gettwounique(vector::iterator begin, vector::iterator end, vector& unique)

int xorresult = 0;

for(vector::iterator iter = begin; iter != end; ++iter)

xorresult ^= *iter;

int diff = lastbitof1(xorresult);

int first = 0;

int second = 0;

for(vector::iterator iter = begin; iter != end; ++iter)

if(diff & *iter)

first ^= *iter;

else

second ^= *iter;

unique.push_back(first);

unique.push_back(second);

上文中getthreeunique從陣列中找出三個只出現一次的數字，而gettwounique從陣列中找出兩個只出現一次的數字。lastbitof1實現分析中的函式f(n)的功能，它只保留數字n的二進位制表示中的最後一位1，而把其他所有位都變成0。

在函式getthreeunique中，我們通過第乙個for迴圈把a、b、c三個數字異或的結果儲存到xorresult中，接著在第二個for迴圈中求出f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)並儲存到變數flags中。在語句flags=lastbitof1(flags)求出f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)結果的二進位制中最後一位是1的位。並根據這一數字求出第乙個只出現一次的數字first。接著把first交換到陣列的最後，並在陣列的前n-1個數字中求出另外兩個只出現一次的數字。

陣列中三個只出現一次的數字

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