半連通分量 Tarjan Kosaraju演算法

乙個有向圖稱為半連通(semi-connected)，滿足：對於圖中任兩點u,v,存在一條u到v的有向路徑或者從v到u的有向路徑。若滿足，則稱g』是g的乙個匯出子圖。

若g』是g的匯出子圖，且g』半連通，則稱g』為g的半連通子圖。若g』是g所有半連通子圖中包含節點數最多的，則稱g』是g的最大半連通子圖。

判斷乙個圖是不是半連通圖

求解：<1>kosarsju演算法： [1] 新圖dfs [2] 方法2

<2>tarjan演算法：[1] 新圖dfs

新圖dfs

void init_judge(void)
root=0;
is_halfscc=0;
}void judge_halfscc(int u,int depth)
ptr=ptr->next;
}	}}

init_judge();   //half_scc判定  【主函式程式段】
for(int cn=1;cn<=num_scc;cn++)
if(in_d[cn] == 0)
root = cn;  //找到入度為0的點，做起點dfs
vis_scc[root]=1;
judge_halfscc(root,1);
if(is_halfscc)	printf("yes\n");
else  printf("no\n");

方法2(僅適應於kosaraju演算法)

求出縮點後所有頂點的入度ind。思考：如果原圖g要是半連通的，那麼縮點後的圖mat必須要連通，這是基礎的前提，不然原圖都是不連通的，這時只要判斷mat中頂點是否只有乙個入度為0的點，如果當前的 dag 有不止乙個入度為 0 的點，那麼這些點之間是不可到達的，導致圖g不是半連通的。此外，mat就是一棵樹，入度為0的頂點就是根，如果這個樹不是一條鏈，那麼圖g也不是半連通的，不是鏈就說明有分叉，兩個分叉之間是不能到達的，那麼如何判斷是否有分叉呢？答案是拓撲排序，如果排序到某個節點後，剩下的順序不能確定，就說明出現了分叉。

其實程式是判斷樹的高度是否==num_scc。

void judge_half_scc(void)
if(num_indegree_0 > 1)  //優先判斷重構圖是否連通
printf("no\n");
else
if(num_indegree_0>1 || num_indegree_0==0)
break;
in_degree[root]=-1; //標記+下層遍歷
depth++;
ptr=rebuild_alg->vlist[root].firstedge;
while(ptr!=null)
}if(depth==num_scc)  //若相等
printf("yes\n");
else  printf("no\n");
}}

求出有向圖的最大半連通子圖

tarjan或kosarju

縮點之後變為

dag，最大節點數即為

「最長鏈

」，一條鏈的長度定義為所有節點的權值之和，每個

scc的權值為它的節點個數。乙個注意的地方就是

tarjan

之後重構圖的時候會加入重邊，要消除重邊影響。乙個scc裡所有點之間都是半連通的。如果兩個強連通之間有邊，那麼這兩個強連通中的任意點也是半連通的。

[1].

找出入度為

0的點做

dfs，並統計

count權值

[2].count

是把父親節點的

num向孩子節點加；

[3].

找出count

陣列中的最大值

max_count

即可；

[4].

計算出與

max_count

相等的個數，即

max_halfscc

個數在程式中，首先要記錄下每個scc包含的頂點個數num[i]。

/*深度優先搜尋尋找最大權值*/
void init_find(void)
root=0;
}void find_max_halfscc(int u)
ptr=ptr->next;
}}

init_find();
for(int cnt=1;cnt<=num_scc;cnt++)  //【3.判定】
if(in_degree[cnt] == 0)
然後再執行第[3][4]步即可。至於求解最大半連通子圖中的頂點，只要對新圖的逆表作dfs即可。

void dfs_reverse_rebuild_alg(int u)
ptr=ptr->next;
}}

memset(vis_scc,0,sizeof(vis_scc));
for(int ii=1;ii<=num_scc;ii++)  //對新圖的逆表做一次dfs
printf("\n");
}

半連通分量 Tarjan Kosaraju演算法

BFS 連通分量求連通分量

點連通分量邊連通分量割點和橋強連通分量

強連通分量 tarjan求強連通分量

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