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作為blog再次發出來，詳細描述一下crc32演算法的推導過程。
crc 演算法的數學基礎就不再多囉嗦了，到處都是，簡單提一下。它是以 gf(2) 多項式算術為數學基礎的，gf(2) 多項式中只有乙個變數 x ，其係數也只有 0 和 1 ，比如：
1 *x^6 + 0*x^5 + 1*x^4 + 0*x^3 + 0*x^2 +1*x^1 + 1*x^0
= x^6 + x^4 + x + 1
加減運算不考慮進製和退位。說白了就是下面的運算規則：
0 + 0 = 0 0 - 0 = 0
0 + 1 = 1 0 - 1 = 1
1 + 0 = 1 1 - 0 = 1
1 + 1 = 0 1 - 1 = 0
看看這個規則，其實就是乙個異或運算。
每個生成多項式的係數只能是 0 或 1 ，因此我們可以把它轉化為二進位制形式表示， 比如
g(x)=x^4 + x + 1
，那麼g(x)
對應的二進位制形式就是
10011
， 於是我們就把 gf(2) 多項式的除法轉換成了二進位制形式，和普通除法沒有區別，只是加減運算沒有進製和退位。
比如基於上述規則計算 11010/1001 ，那麼商是 11 ，餘數就是 101 ，簡單吧。
採用 crc 校驗時，傳送方和接收方用同乙個生成多項式 g(x) ， g(x) 是乙個 gf(2) 多項式，並且 g(x) 的首位和最後一位的係數必須為 1 。
crc 的處理方法是：傳送方用傳送資料的二進位制多項式 t(x) 除以 g(x) ，得到餘數 y(x) 作為 crc 校驗碼。校驗時，以計算的校正結果是否為 0 為據，判斷資料幀是否出錯。設生成多項式是 r 階的（最高位是 x^r ）具體步驟如下面的描述。
傳送方：
1 ）在傳送的 m 位資料的二進位制多項式 t(x) 後新增 r 個 0 ，擴張到 m+ r 位，以容納 r 位的校驗碼，追加 0 後的二進位制多項式為 t(x) ；
2 ）用 t(x) 除以生成多項式 g(x) ，得到 r 位的餘數 y(x) ，它就是 crc 校驗碼；
3 ）把 y(x) 追加到 t(x) 後面，此時的資料 s(x) 就是包含了 crc 校驗碼的待傳送字串；由於 s(x) = t(x) y(x) ，因此 s(x) 肯定能被 g(x) 除盡。
接收方：
1 ）接收資料 n(x) ，這個 n(x) 就是包含了 crc 校驗碼的 m+r 位資料；
2 ）計算 n(x) 除以 g(x) ，如果餘數為 0 則表示傳輸過程沒有錯誤，否則表示有錯誤。從 n(x) 去掉尾部的 r 位資料，得到的就是原始資料。
生成多項式可不是隨意選擇的，數學上的東西就免了，以下是一些標準的 crc 演算法的生成多項式：
標準生成多項式
16 進製表示
crc12
x^12 + x^11 + x^3 + x^2 + x + 1
0x80f
crc16
x^16 + x^15 + x^2 + 1
0x8005
crc16-ccitt
x^16 + x^12 + x^5 + 1
0x1021
crc32
x^32 + x^26 + x^23 + x^22 + x^16 + x^12 + x^11+ x^10 + x^8 + x^7 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1
0x04c11db7
根據多項式除法，我們就可以得到原始的 crc 校驗演算法。假設生成多項式 g(x)是r
階的，原始資料存放在
data
中，長度為
len個
bit，
reg是
r+1位的變數。 以 crc-4 為例，生成多項式 g(x)=x^4 + x + 1
，對應了乙個
5bits
的二進位制數字
10011
，那麼reg
就是 5 bits 。
reg[1]
表明reg
的最低位，
reg[r+1]
是reg
的最高位。
通過反覆的移位和進行除法，那麼最終該暫存器中的值去掉最高一位就是我們所要求的餘數。所以可以將上述步驟用下面的流程描述：
[cpp]view plain
copy
reg = 0;
data = data追加r個;
pos = 1;
while(pos <= len)
// 移出最高位，移入新資料
reg = (reg<<1) | (data[pos]);
pos++;
} return reg;
// reg中的後r位儲存的就是餘數
由於最後只需要
r位的餘數，所以我們可以嘗試構造乙個r位的
reg，初值為
0，資料
data
依次移入
reg[1]
，同時把
reg[r]
移出reg。
根據上面的演算法可以知道，只有當移出的資料為1時，
reg才和
g(x)
進行xor
運算；於是可以使用下面的演算法：
[cpp]view plain
copy
reg = 0;
data = data追加r個;
pos = 1;
while(pos
pos++;
} return reg;
// reg中儲存的就是餘數
這種演算法簡單，容易實現，對任意長度生成多項式的 g （ x ）都適用，對應的 crc-32 的實現就是：
[cpp]view plain
copy
// 以4 byte資料為例
#define poly 0x04c11db7l // crc32生成多項式
unsigned int crc32_1(unsigned
int data)
return reg;
} 但是如果傳送的資料塊很長的話，這種方法就不太適合了。它一次只能處理乙個 bit 的資料，效率太低。考慮能不能每次處理乙個 byte 的資料呢？事實上這也是當前的 crc-32 實現採用的方法。
這一步驟是通往基於校驗表方法的橋梁，讓我們一步一步來分析上面逐 bit 的運算方式，我們把 reg 和 g(x) 都採用 bit 的方式表示如下：
考慮把上面逐 bit 的演算法執行 8 次，如果某次移出的不是 1 ，那麼 reg 不會和 g(x) 執行 xor 運算，事實上這相當於將 reg 和 0 執行了 xor 運算。執行過程如下所示，根據 hi-bit 的值，這裡的 g 可能是 g(x) 也可能是 0 。
從上面的執行過程清楚的看到，執行 8 次後， old-reg 的高 8bit 被完全移出， new-reg 就是 old-reg 的低24bit 和資料 data 新移入的 8bit 和 g 一次次執行 xor 運算所得到的。
xor 運算滿足結合律，那就是： a xor b xor c = a xor (b xor c) ，於是我們可以考慮把上面的運算分成兩步進行：
1 ）先執行 r 高 8bit 與 g 之間的 xor 運算，將計算結果存入 x 中，如下面的過程所示。
2 ）將 r 左移 8bit ，並移入 8bit 的資料，得到的值就是
根據 xor 運算的結合率，最後的結果就等於上面逐 bit 的演算法執行 8 次後的結果，根據這個分解，我們可以修改逐bit 的方式，寫出下面的演算法。
[cpp]view plain
copy
// 以4 byte資料為例
#define poly 0x04c11db7l // crc32生成多項式
unsigned int crc32_2(unsigned
int data)
// 計算步驟2
reg = (reg<<8)|p[i];
reg = reg ^ sum_poly;
} return reg;
}
CRC32演算法詳細推導（3）
看起來我們已經得到 crc 32 演算法的最終形式了，可是 可是在實際的應用中，資料傳輸時是低位先行的 對於乙個位元組 byte 來講，傳輸將是按照 b1,b2,b8 的順序。而我們上面的演算法是按照高位在前的約定，不管是 reg還是 g x g32,g31,g1 b8,b7,b1 r32,r31,...
CRC32演算法實現
crc32 檢錯能力極強，開銷小，易於用編碼器及檢測電路實現。從其檢錯能力來看，它所不能發現的錯誤的機率僅為0.0047 以下。從效能上和開銷上考慮，均遠遠優於奇偶校驗及算術和校驗等方式。因而，在資料儲存和資料通訊領域，crc無處不在 著名的通訊協議x.25的fcs 幀檢錯序列 採用的是crc cc...
深入了解crc32演算法
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