研究隨機現象， 什麼是隨機現象呢？在某種特定情況下，或者某個環境中，不總是出現同乙個結果的現象就是隨機現象。研究某個隨機現象的時候，隨機現象所有可能結果組成的集合稱為樣本空間。 隨機現象的每種基本結果被定義為樣本點。我們可以理解這種隸屬關係，隨機現象擁有樣本空間和樣本點這兩個屬性。 某些樣本點組成的集合稱為事件。事件本質是集合，我們可以研究事件間的關係、事件間的運算。在事件上定義乙個叫做概率的函式，這就給我們 研究某些隨機現象結果的可能性 提供了數學基礎。給出概率的定義，通過事件的相互關係、運算性質，我們可以得到一些事件間的概率性質，或者事件本身的概率性質。
研究隨機現象，首先應該明確我們研究的是什麼現象！樣本空間是什麼！我們對哪些事件感興趣！如何確定這些事件的概率！
在研究過程中，大家會不自然的用到一些符號來表示隨機現象的結果，這就是我們內心對隨機變數的訴求。隨機變數已經深入我們的內心，很難去分離理解他了。 如果能區分他，明確的理解他，我們有理由相信這會幫助我們解決實際問題。 所以我們設法理解或者說重新理解隨機變數。 我們把隨機現象結果用數量表示，這種數量表示就是隨機變數。更理論一點理解就是，隨機變數是定義在樣本空間上的乙個函式！我沒有見過函式值是複數的，很多書中也是這樣定義的，就是這個函式是實值函式！
隨機變數一般用大寫字母來表示，x，y，z等， 每乙個樣本點對應唯一乙個隨機變數值，那麼就可以用隨機變數的條件限制出樣本點的集合，那麼這就是事件了。 例如，我們研究投擲硬幣這個隨機現象，出現的結果有兩種，一種是正面，一種是反面，這兩種結果組成樣本空間，每乙個結果是乙個樣本點，定義乙個隨機變數x，當隨機現象的結果為正面時，x=1，當結果為反面時，x=0，這些定義都滿足 隨機變數的定義，那麼x=0就是乙個基本事件了，概率是定義在事件上的，那麼p(x=0)便是乙個概率，它表示了「投擲硬幣這種隨機現象出現反面這種結果組成的事件的概率」。 這裡我們考慮的是離散的情況，所謂離散，指的是 隨機變數的值是有限的或者可列的，注意可列是無限的特殊形式。還有一種情況，例如生小孩現象，這種現象的結果又很多種情況，比如新生兒的性別，新生兒的體重，新生兒的身高，新生兒的眼睛間距都可以用來表示這個現象的結果，比如，某某生了乙個小孩，往往我們會說某某生了乙個女孩，或者某某生了乙個8斤的小傢伙，我們已經潛移默化的說出了我們關心的是某個指標。生小孩這種隨機現象的結果有無窮多個，儘管我們無法確定，但是在我們有生之年，也許人類會永遠活在地球上，所以新生兒一直會出現，這種現象的樣本點就是每個新生兒，樣本空間就是所有新生兒的全體，新生兒有無限多個。 我們在這個樣本空間上定義隨機變數，新生兒性別為男孩時x=0，新生兒性別為女孩時，x=1，這裡不考慮其它情況，儘管還有其它可能；在同乙個樣本空間上，在繼續定義另乙個隨機變數y，它表示新生兒的體重；隨機變數z表示新生兒的身高。如果我們認為概率反應的是事物內部本質的話，x=0或者=1應該可以用某個穩定值來表示他的可能性，我們就說這個是他們的概率了。如何確定這個概率呢？用古典方法，我們認為男女有相同的可能；又可以用統計的方法，在某一段時間內，統計某個地區的新生兒性別，可以用相應性別出生的頻率來估計為某個性別的概率。對於y和z，這顯然是連續的隨機變數，我們很難用古典概率方法研究每個值出現的可能性，依然可以使用頻率來表示，在保留誤差的條件下，比如，我們搞一些區間，(0,1] (1,2] ....等等，如果觀測值（得到的某個樣本點的相應隨機變數值）比較少，我們可以把區間劃的大一點，如果比較多，相應劃多一點，這種劃分沒有嚴格的規則，至少我現在沒有想到，只是根據實際情況設定就可以了。統計能獲得的樣本點的相應觀測值落在對應區間的個數，這樣就會得到乙個區域的頻率分布了，如果觀測值增多，我們就減小區間的寬度，當觀測值得個數趨近無窮了，我們區間的長度相應也趨近於無窮了，這樣我們就但是每個觀測值還保留著某個值，這個值不再是概率了，我們可以用密度來理解他。很多情況下，我們研究的隨機現象的樣本空間上定義的隨機變數連續的時候，我們會有一些相應的分布來研究它，比如正態分佈！什麼是分布呢？ 離散隨機變數場合，隨機變數的取值概率都知道，這就是分布了。 連續場合，隨機變數的概率密度知道，他的分布就曉得了。
問題想多了，我們會發現，實際上，很容易知道隨機變數後面的問題，不好去拿出我們研究的到底是什麼現象，這個現象是隨機現象，他的樣本點是什麼！！
知道了這些之後，我們還會研究相同樣本空間上不同隨機變數的關係問題！ 將問題再提公升乙個等級了。 就是我們前面描述過的問題，新生兒的性別，體重，身高等隨機變數是同乙個樣本空間上的不同隨機變數啊。
回到魚的問題上來先，我們逮了好多魚，很湊巧，這些魚只有兩種，假設為鱸魚和鮭魚，我們考慮任意在這些魚裡面拿出一條，它是什麼魚。 顯然樣本空間有限，某種魚也是有限的，如果我拿到每一條魚的條件相等，拿出一條魚，他是鱸魚的概率就是鱸魚的數量除以所有魚的數量。用隨機變數x=0，表示鱸魚，x=1表示鮭魚。我們再引入乙個隨機變數y表示魚的長度。研究有限的魚，y這個隨機變數我們只能用落在某個區間的魚的頻率來表示y的分布列。如果我們把研究物件擴大，自然界中我們認為兩種魚的數量是穩定的，如果我們捕到的魚作為自然界中魚的乙個隨機樣本，我們完全可以認為y是連續分布的，而且與自然界中這兩種魚的長度分布一致，事實上我們補到的魚很難作為自然界的乙個隨機樣本。也就是說這個樣本不一定能很好的反應自然界的真是情況。但是很多情況下，我們認為自然界中的某些隨機變數符合正太分布，儘管某個樣本不一定服從這個分布，我們還是估計他的期望和方差，並把它作為正太分布研究。
我們不考慮擴大的情況繼續思考這個問題，在我們捕到魚中繼續考慮呀，假設我們捕到的魚足夠多，我們暫且用連續的密度函式來描述y的分布情況。p(x,y)表示的是什麼意思呢？先假設有限樣本點，那麼每個樣本點對應x和y都有乙個值，這兩個值為在二維歐式空間中是乙個點，我們在y上用區間劃分，這樣出現在x=x，y屬於某個區間的魚的個數除以所補到魚的總數就是這個區間的頻率，如果魚足夠多，那麼我們就認為p(x,y)是關於y的連續函式了。p(x,y)就是x,y的聯合密度函式了。 再加個條件的問題來思考下，p(y|x)，這個是x某個值時，y的概率密度，條件概率也是概率呀，不要跟聯合概率密度弄混了。例如，p(y|x=0)表示所捕的魚中所有鱸魚構成的集合中，y的分布情況。實際上條件概率是縮小了研究的範圍。
思考了這麼多，我們在提出乙個問題。當拿到了乙個魚，我們不能計算它的種類，我們可以計算它的長度，那麼長度一定，這條魚它屬於鱸魚或者鮭魚的概率有多大呢？ p(x|y)就可以來解決這個問題了。我們可以使用貝葉斯公式來求解這個問題，p(x|y) = p(x,y) /p(y) = p(y|x)p(x) / p(y), p(y) = p(x=0)p(y|x=0) + p(x=1)p(y|x=1) 。
我們想找乙個比較好的t值，使得我們誤判的概率最小化，所以要考慮誤判的情況。 假設我們將y=t判成x=1 。分析這樣導致的結果是
p(x=1, y=t) 就構成了這種判別的錯誤概率密度，錯誤概率就是:
我們想要這個錯誤概率最小化，那麼我們會得到乙個優化問題，順便求出目標函式的導數。
令導數等於0，便可以求出最佳的t的位置了。
接下來，再繼續考慮幾個問題，首先即使給出乙個最優的t，目標函式的值仍然很大，比如0.5，這個值可以理解為，我們的分類錯誤率是50%，確實有些大了。我們可以怎麼改進呢？ 我們可以引入更多的特徵，從概率上就是說我們再繼續尋找同一些樣本空間上的函式，使得總體上誤差函式的最優值盡量的小。
另外乙個問題就是，我們如何確定針對某一中魚的某個特徵的分布情況，一般情況下，我們會用統計的方法進行估計，這個需要分布已知，往往我們會假設他為某個分布，然後再根據有限樣本容量的樣本進行引數估計，這樣會帶來兩部分誤差，1、他是否真的滿足我們給定的分布，這一步的錯誤直接導致所有錯誤。2、我們的樣本是否可以很好的描述總體分布情況，這部分表示的引數估計的誤差。 這兩個問題帶來的是，如何明確某個隨機變數的分布，以及如何找到乙個可以估計總體分布的樣本。
這篇文章我沒有嚴格的分章節敘述，只是在順序，基於我自己的思考邏輯慢慢展開的，不管怎樣，我相信，並不會有很多人會認真讀完這篇文章，所以我也就不用不好意思了。哈哈。
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