人類自從有了智慧型以來，一直以概念來描述世間萬物。首先，我們給身邊的每樣物體起名字，天，地，日，月，山，水，風，雨，都是獨一無二的具體概念。漸漸地，名字太多不好記，就開始以組合的方式命名。比如說，取兩件事物相關聯的特徵來指第三件事，暴雨落於田野，聲音很大，於是起了個名字叫「雷」，亮的東西，就像那太陽和月亮，於是就起了個名字叫「明」，等等。
在這種方式下，每個名字都漸漸丟失了原本具體事物的個性，而變成了很多事物共通的特徵。在特徵上研究而得到的規則和邏輯，能應用於所有具有這特徵的事物，因此有極強的推廣能力，所謂「舉一反三」是也。比如說，知道了「一加一等於二」，我們就知道一枚硬幣加一枚硬幣是兩枚，乙個蘋果加乙個蘋果是兩個，任何單個同種物體相加都是兩個。加和之後的數量，只和加和前的物體數量有關，和物體的其它特徵，比如說方的，圓的，紅的，綠的，是沒有關係的。
日常概念，比如說數量，顏色，形狀，大小，用自然語言都能解釋明白，邏輯也清楚，數學在這裡就顯得「沒什麼用」；但如果要從日常抽象出的概念中，再一次地抽出共同的特性來加以理解和分析，即所謂的「抽象的抽象」或是「高層抽象」，數學就有大威力。它的精確簡潔，恰好擊中了日常概念模糊冗長的命門，就可以在堅實的基礎上，建起高層抽象的大廈，並且仍然能保持嚴格的邏輯自洽性，不會出錯。
乙個經典例子，是求解多元線性方程組。一元（像4x=12)是小學生課程，兩元（像求兩直線交點）是初中生課程，三元以上就會令高中生們頭痛了，因為求解的過程漫長凌亂（我相信這是很多人恨數學的原因）。到了大學的線性代數課，矩陣粉墨登場，利用高斯消元加上克萊姆法則，一下子就可以解任意多未知數的線性方程組。
別看我們只學了半年一年，歷史上這一步質的飛躍，花費千年。中國人試過，印度人試過，阿拉伯人試過，最後歐洲人終於建立了完整的體系，使這一問題得以徹底解決。今天我們能看見火箭上天，能開著汽車到處走，能造出晶元，能玩3d遊戲，能看高畫質的數碼電影，全要拜它所賜。從此以後，我們不用像高中生那樣為解乙個三元一次方程組寫一黑板的推導，而只要在matlab裡寫一行就可以了：
x=a\b。
漂亮不？有了矩陣，我們的思維就不再掙扎糾結於四則運算細節，因為簡潔有效的矩陣運算（二級抽象）自然包含了繁雜的加減乘除（一級抽象）。大腦解放了之後，就可以騰出空間來尋找更高階別的規律，新一層的抽象就又開始了。比如說，脫開解線性方程組這個具體應用背景，而單純考慮矩陣和向量運算的各種性質，我們看見了它的線性特徵和幾何對應，於是就有了線性運算元的概念，特徵值的概念；考慮矩陣之間的加法和乘法運算結構，我們可以抽象出群和環的概念。數學的大廈，就是這樣建立起來的。
另一方面，高層抽象的成功構造，反過來會影響作為其基礎的日常概念的選擇。理論是發展的，在發展過程中各種概念可以提很多，但是有用的概念需要經過時間的檢驗，其中一種檢驗方式，就是看這個概念能在將來的體系中走多遠。從牛頓力學發展到相對論和量子力學的這個過程中，有些物理概念雖然很直觀，但在更廣泛的情景下無法推廣（比如說「力」），於是就漸漸廢棄；有些概念初看起來很奇怪，但後來被發現在各種情況下都找得到它的影子（比如說「動量」），那就大行其道。為什麼我們有碳氫氧的概念，卻沒有「燃素」的概念，因為前者導致了化學這一體系的誕生，而後者的結論都被實踐否定，像一篇沒有後續工作的文章，漸漸被人遺忘。
有人就會問了，大部分高階抽象和我們平時的工作沒啥關聯，有必要學習它們麼？答案是：確實沒有必要（笑）。數學家們把這種抽象過程當作遊戲，自得其樂地在那裡不停地發文章；而我們工科生要解決實際問題，要以最小的代價命中問題的要害，只取所需要的部分就行。雖然如此，但是——
學會這樣一種自下而上的，多級抽象的思考方式，個人認為是數學帶給我們的最重要財富。
有效率的思維，是像一束雷射，在合適的時候聚焦於問題關鍵點，而忽略細節；等解決完了，再重新分析，迅速切換到下乙個關鍵點，幾個關鍵點一解決，綱舉而目張，問題自然解決。而關鍵點如何選擇，大節如何把握，細節如何忽略，就是需要不停磨練的藝術。每次細節複雜，邏輯關係混亂的時候，不是拼耐心把它們全都解決，而是移開目光，朝天仰望，想一想其中有什麼最重要的成分，把他們抽出來反覆理解，按照重要和次要排序，最終理順關係，再開始動手。
在這一點上，發展幾百年的數學體系給了無數的範例可供欣賞。每乙個公式或是定理，都是去粗存精後的結晶，都讓人驚喜於巧妙而簡潔的假設，有趣卻嚴格的分析，和精緻而廣泛的結論。理解了這些，才真正體會到何謂數學之美——
數學不是令人生畏的滿屏公式，不是折磨人的重複計算，是有關「如何對概念進行抽象」的精巧藝術。
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