3.在黑板上寫下50個數字：1至50。在接下來的49輪操作中，每次做如下操作：選取兩個黑板上的數字a和b，擦去，在黑板上寫|b-a|。請問最後一次動作之後剩下的數字可能是什麼？為什麼？（不用寫**，不寫原因不得分）（阿里巴巴筆試題）
將題目通用化，即變成給定1..n這n個數字，操作到最後剩下的數字可能是什麼。則原題即是n=50的特例。
首先我們有結論1：假設操作1..n，最後剩下的可能數字的個數為k，則操作1..(n+1)時，剩下數字的個數將大於等於k。這個結論簡單的用反證法證明下——假設存在n，使得操作1..n時，剩下的數字個數k，操作1..(n+1)剩下可能數字的個數為p，且k>p。則令1..n時的k個數為a[1],a[2]…a[k]，顯然它們互不相等。則1..n+1時，如果最後使用數字n+1與a[1]…a[k]做操作，得到|a[1]-(n+1)| … |a[k]-(n+1)|，此時k=p，不滿足假設，則假設不成立，原命題成立。
然後再來個結論2：操作1..n所有可能剩下的數字必定都小於等於n。這個顯然成立，因為對任意非負數a,b，|b-a|<=max(a,b)必定成立。
開始解題。
對於操作1..n這n個數，若只觀察它們的奇偶性，則會發現，當選取任意兩個數a,b做操作時，若兩個均為偶數，則結果也為偶；兩個奇數，結果為偶；一奇一偶，結果為奇。而這點跟異或完全相同，即令0代表偶數，1代表奇數，則0^0=1^1=0，0^1=1^0=1。因此，當操作1..n時，其剩下數字的奇偶性就等於1^0^1^0…^1(n為奇)/0(n為偶)，是個確定值，即剩下的數必定都為奇數或都為偶數（異或與順序無關）。進一步發現，當1^0^1^0…式子中1的個數為奇數時，結果為1，即剩下的數必定都為奇數；1的個數為偶，結果為0，剩下的數字必定都為偶數。
因此我們有如下假設的結論：對於1..n，當┌n/2┐為奇數（┌n┐表示不小於n的整數）時，剩下的數字為1,3,5… 2i+1（其中2*i+1為小於等於n的最大奇數）；當┌n/2┐為偶數時，剩下的數字為0,2,4…2*i（2*i為小於等於n的最大偶數）。
下面用數學歸納法證明該假設。
1).當n=3時，可能剩下的數字為0,2，假設成立；n=4時，剩下的數字為0,2,4，假設成立；n=5時，為1,3,5，假設成立。
2).假設當n=k時，假設成立。即1..k時，若┌k/2┐為奇，則為1,3,5…2*i+1；┌n/2┐為偶，則為0,2,4…2*i。則現在需證明n=k+1時，假設仍成立。
3).當n=k+1時，若此時┌k/2┐為奇時，則再分為兩種情況：k為奇數，或k為偶數。當k為奇數時，1^0^1…^1=1，再異或偶數k+1，1^0=1，則此時操作1…k+1剩下的數字仍然均為奇數，再根據結論1和結論2可知，剩下數字的個數應大於等於n=k，且最大奇數不能大於偶數k+1，則唯一的可能就是1..k+1剩下的數字與1..k剩下的數字相同，此情況符合假設。當k為偶數時，1^0^…^0=1，再異或奇數k+1，1^1=0，則此時操作1..k+1剩下的數字均為偶數，但結論1,2要求其個數應該大於等於n=k時的個數，且最大數不能大於k+1，則唯一的可能就是0,2…k，此情況仍符合假設。最後┌k/2┐為偶的情況，也可根據該奇偶性和結論1,2易證得該假設成立。故n=k+1時，假設仍然成立。
4).最後回到題目上來，令n=50，則根據結論可知，可能剩下的數字為1,3,5…49。
4、已知三個公升序整數陣列a[l], b[m]和c[n]。請在三個陣列中各找乙個元素，是的組成的三元組距離最小。三元組的距離定義是：假設a[i]、b[j]和c[k]是乙個三元組，那麼距離為:
distance = max(|a[ i ] – b[ j ]|, |a[ i ] – c[ k ]|, |b[ j ] – c[ k ]|)
請設計乙個求最小三元組距離的最優演算法，並分析時間複雜度。
解：這道題目有兩個關鍵點：
第乙個關鍵點：max =（|x1+y1-x2-y2|+|x1-y1-(x2-y2)|）/2 --公式（1）
我們假設x1=a[ i ]，x2=b[ j ]，
x3=c[ k ]，則
distance = max(|x1 – x2|, |x1 – x3|, |x2 – x3|) = max( max(|x1 – x2|, |x1 – x3|) , |x2 – x3|) --公式（2）
根據公式（1），max(|x1 – x2|, |x1 – x3|) = 1/2 ( |2x1 – x2– x3| + |x2 – x3|)，帶入公式（2），得到
distance= max( 1/2 ( |2x1 – x2– x3| + |x2 – x3|) , |x2 – x3| )
=1/2 * max( |2x1 – x2– x3| , |x2 – x3| )+ 1/2*|x2 – x3|//把相同部分1/2*|x2 – x3|分離出來
=1/2 * max( |2x1 – (x2 + x3)| , |x2 – x3| )+ 1/2*|x2 – x3|//把(x2 + x3)看成乙個整體，使用公式（1）
=1/2 * 1/2 *((|2x1 – 2x2| + |2x1 – 2x3|)+ 1/2*|x2 – x3|
=1/2 *|x1 – x2| + 1/2 * |x1 – x3| + 1/2*|x2 – x3|
=1/2 *(|x1 – x2| + |x1 – x3| + |x2 – x3|)//求出來了等價公式，完畢！
第二個關鍵點：如何找到(|x1 – x2| + |x1 – x3| + |x2 – x3|) 的最小值，x1，x2，x3，分別是三個陣列中的任意乙個數。
阿里巴巴2014筆試演算法題彙總
1.兩棵二叉樹t1和t2，t1的節點數是百萬量級，t2的節點數一千以內，請給出判斷t2是否t1子樹的可行演算法。分析 首先想到的是遞迴，但是t1的數量級太大，遞迴會導致棧溢位，於是以非遞迴實現。bool issubtree binarytreenode proot1,binarytreenode p...
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谷歌筆試最後一題
接上次的，google 2011校招清華筆試最後一題題目 感覺在考mapreduce思想和動態規劃 kof遊戲中乙個大招規則如下 s t,s與t分別為按鍵集合。當按鍵滿足一定規則時，可以連續按出大招，即連招。例如招數表如下 abc d,bcd e,de f,ef g。那麼，當按鍵順序為 abc d ...