Two Sawmills 鋸木廠選址

2021-06-17 23:31:16 字數 3203 閱讀 5847

斜率優化dp,應該說是第一道斜率優化dp了,推公式的時候各種坑,還是參照了hzq神牛的思路，細節方面稍有不同,

為了思維方便，我先將給出的序列翻轉了,也就是把從山頂到山下的點順序邊成了從山下到山頂,編號從1開始,第乙個點即為海拔最低的伐木場,所以共有n+1個點,w[i]表示第i個點的重量,dist[i]表示第i個點到第乙個點的距離,dp[i]表示把第二個伐木場建到第i個點的最優解

則有 dp[i] = min(s[1, j-1]+s[j, i-1]+s[i, n+1])    1

其中  s[l, r] = ∑w[i]*(dist[i]-dist[i])  (l <= i <= r)  2 

再設sw[i] = ∑ w[j] (1 <= j <= i),                         3

swd[i] = ∑ w[j]*dist[j] (1 <= j <= i)             4

則有 s[l, r] = swd[r]-swd[l-1]-(sw[r]-sw[l-1])*dist[l];

帶入1式後化簡可得

dp[i] = min(swd[n+1]-swd[0]

-(sw[n+1]-sw[i-1])*dist[i]-(sw[i-1]-sw[j-1])*dist[j]-(sw[j-1]-sw[0])*dist[1])

由於dist[1]等於0,所以

dp[i] = min(-(sw[i-1]-sw[j-1])*dist[j])+swd[n+1]-swd[0]

-(sw[n+1]-sw[i-1])*dist[i]

以為後面的部分是與j無關的常量，所以不會影響決策,可以忽略掉

所以要求解只剩min((-sw[i-1])*dist[j]+

sw[j-1]*dist[j])了

由於-sw[i-1]在第i輪決策中可以看成常數記為a,用x表示dist[j],y表示sw[j-1]*dist[j],

則優化目標g = min(-ax+y),設x*,y*為最優解(注意最優解實際上只有j決定)

則有g = -ax*+y*,移項後可得y* = ax*+g,由於a > 0所以，這相當於一條斜率已知的直線向上移動直到與之前任意乙個點

(x, y) 想切,此時的到的g是最優解,不難發現最優決策點構成一條下凸線,而且由於a單調遞增,而下凸線的斜率也是單調遞增的，所以可以捨棄當前最優決策之前的所有點，因為這些點都不可能成為之後決策的最優點了。

#include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include using std::priority_queue;


using std::vector;


using std::swap;


using std::stack;


using std::sort;


using std::max;


using std::min;


using std::pair;


using std::map;


using std::string;


using std::cin;


using std::cout;


using std::set;


using std::queue;


using std::string;


using std::stringstream;


using std::make_pair;


using std::getline;


using std::greater;


using std::endl;


using std::multimap;


using std::deque;


using std::unique;


using std::lower_bound;


using std::random_shuffle;


using std::bitset;


using std::upper_bound;


using std::multiset;


typedef long long ll;


typedef unsigned long long ull;


typedef pairpair;


typedef multimapmmap;


typedef ll ty;


typedef long double lf;


const int maxn(20010);


const int maxm(100010);


const int maxe(100010);


const int maxk(6);


const int hsize(31313);


const int sigma_size(26);


const int maxh(19);


const int infi((int_max-1) >> 1);


const ull base(31);


const ll lim(10000000);


const int inv(-10000);


const int mod(20100403);


const double eps(1e-7);


const lf pi(acos(-1.0));


templatevoid checkmax(t &a, t b)


templatevoid checkmin(t &a, t b)


templatet abs(const t &a)


ll x[maxn], y[maxn];


int que[maxn];


int front, back;


ll dist[maxn], sw[maxn];


int main()


for(int i = 1; i <= n; ++i)


ll ans = 1e11;


front = 0;


back = -1;


que[++back] = 1;


que[++back] = 2; 


for(int i = 3; i <= n; ++i)


printf("%i64d\n", ans);


}	return 0;


}

鋸木廠選址

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