本題的另外乙個解法請看：乙個無重複面值的找零演算法的思路與實現（二）
在論壇上看到有人問了乙個類似的演算法題：
給出公升序排列的n個數字，比如1， 2， 3， 7， 70
找出無法被這組數字組成的最小正整數。（這組數字中每個數字最多使用一次）
（1）簡單描述你的演算法和思路。
（2）用c/c++實現
（3）分析你的**的時間複雜度和空間複雜度
解題思路：
這個問題類似於乙個硬幣找零問題的公升級版。現存在一堆面值為v1, v2, v3, ...的硬幣，每種面值的硬幣只有一枚，現在需要為顧客找出總值為sum的零錢。問不能被找零的sum的最小值是多少？
方案1：
最容易理解的實現方法是使用遞迴。
我們假定v1, v2, v3, ... vn是面值由小到大排列的所有幣種。我們從sum等於1開始，遞增的迴圈進行找零。
首先找出小於等於sum且最接近sum的面值vm。然後得出sum-vm的值，並對sum-vm繼續進行找零，找出小於等於sum-vm且小於vm的最接近面值。遞迴的找下去，如果連最小面值都被遍歷到而sum仍然沒被找完，則不能被找零。
若sum不能被無重複面值的找零，則sum即所求。否則，對sum+1進行遞迴的找零。
如下是我用c語言實現的演算法，可以直接執行。可以為values指定任意的一組公升序面值。
[cpp]view plain
copy
#include "stdio.h"
#include "conio.h"
static
intvalues=;
/*公升序排列的所有面值*/
void
main()
else
} if(recursion(j,sum-values[j])==-1);
} }
getchar();
} int
recursion(
intj,
intsum)
} return
recursion(k,sum-values[k]);
}
有同學然而實際上這種情況是不存在的。因為程式是從sum等於1開始對sum進行遞增的判斷，如果sum=k時不能被找零，則所求的最小值就是k，程式將不會繼續往下進行。也就是說上段所說的情況是不存在的，因為4已經是所求的不能被找零的最小值，程式將跳出迴圈。
接下來我們來證明演算法的正確性。
在sum=1或sum=2的情況下很明顯，演算法正確。根據數學歸納法，我們只需證明對於面值集g=，在sum=1, 2, ...,k（k>=1）都可以被正確找零的情況下，演算法對sum=k+1的驗證是正確的，即可證明演算法正確。而要證明這點，我們只需證明遞迴演算法是正確的，即取不大於且最接近sum的vm的做法是正確的。
首先我們證明一些輔助命題。如果嫌長也可以先看下面正題的證明再來查閱這兩個輔助命題。
1.對於面值集g=，若g可以為1, 2, ...,vm（m<=n）找零，則由g的前m個連續面值組成的子集a=必定可以為1, 2, ...,vm找零。
證明：首先能為sum=x找零的面值均小於等於x。（比如為5找零，零錢中肯定不會有6）。所以能為x找零的面值中可以不包含比x更大的面值。2.對於面值集g=，1, 2, ... ,k均可以被找零。其中q(1設q=va+vb+...(其中va, vb, ...為公升序排列且均屬於面值集合b)若g能為x找零，則g中所有不大於x的面值的集合也能為x找零，因為大於x的面值在找零的時候根本不可能被用到。
已知面值集g可以為1, 2, ...vm找零，因此g的所有不大於vm的面值的集合也可以為1, 2, ...vm找零。
得證。
1)若va=1，則將為q找零的集合中的va去掉即可表示q-1
2)若(va)-1屬於b，只需將q的找零集合中的va替換成va-1即可表示q-1.
3)若(va)-1不屬於b，由命題1可知b可以為1,2,...vt找零。由於1
綜上可得，q-1肯定可以被b找零。由於a包含b，所有q-1可以被a找零。
根據數學歸納法，可知q-2,...2,1均可以被a找零。得證。
接下來我們進入正題。
什麼情況下取不大於且最接近sum的vm的做法是正確的呢？
事實上，在1, 2, ...,sum-1都可以被找零的情況下，若sum可以被小於vm的一組面值集表示，則sum必定可以被包含vm的一組面值集表示。
可以轉化為對如下命題的證明：面值集g=，sum=1, 2, ...,k-1（k-1>=1）都可以被正確找零。g中最接近且不大於sum的面值為vm。已知sum可以被最大為vr的面值集找零，求證若v(r+1)<=sum，則sum可以被最大為v(r+1)的面值集找零。則根據數學歸納法，sum可以被最大為vm面值集合找零。
證明：
由於sum可以最大為vr的面值集合找零，令sum=vr+(sum-vr)，由於最大為vr,所以(sum-vr)可以被小於vk的集合j=找零。（待續）由命題2可知小於(sum-vr)的自然數均可以被j找零。由於(sum-v(r+1))
由於(sum-v(r+1))被j找零的面值組合中肯定不包含v(r+1),因此sum可以表示為sum=v(r+1)+(sum-v(r+1)).即(sum-v(r+1))被j找零的組合再加上v(r+1)。
因此，若sum可以被最大為vr的面值集找零，如果v(r+1)<=sum，則sum可以被最大為v(r+1)的面值集找零。
得證。
筆試題 乙個無重複面值的找零演算法的思路與實現
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