杭電 2013 蟠桃記

problem description

喜歡西遊記的同學肯定都知道悟空偷吃蟠桃的故事，你們一定都覺得這猴子太鬧騰了，其實你們是有所不知：悟空是在研究乙個數學問題！

什麼問題？他研究的問題是蟠桃一共有多少個！

不過，到最後，他還是沒能解決這個難題，呵呵^-^

當時的情況是這樣的：

第一天悟空吃掉桃子總數一半多乙個，第二天又將剩下的桃子吃掉一半多乙個，以後每天吃掉前一天剩下的一半多乙個，到第n天準備吃的時候只剩下乙個桃子。聰明的你，請幫悟空算一下，他第一天開始吃的時候桃子一共有多少個呢？

input

輸入資料有多組，每組佔一行，包含乙個正整數n（1

output

對於每組輸入資料，輸出第一天開始吃的時候桃子的總數，每個測試例項佔一行。

sample input 2

4sample output 4

22演算法分析：

programing

迭代的方法很簡單，直接按題目意思來就可以了。

for (s = n = 1; n < 30; n++)s = (s + 1) * 2;

math

計算機的鼻祖本來就是數學家，自然優化程式的最終方法還是要回歸到數學上。

本題很容易得到它的遞推方程:

f(1) = 1;f(n) = [f(n-1) + 1] × 2;

f(n) + 2 = 2 × [f(n-1) + 2]

f(1) + 2 = 3
=>
f(n) + 2 = 3 × 2n-1
=>
f(n) = 3 × 2n-1 - 2

f(1) = 1;

f(n) = 2f(n-1) + 2 = f(n-1) + 2f(n-2) + 4;
=>
f(n) + f(n-1) + 4 = 2 × [f(n-1) + f(n+2) + 4];
設 g(n) = f(n) + f(n-1) + 4;
則 g(n) = 2 × g(n-1);
g(2) = f(2) + f(1) + 4 = 9;
∴g(n) = 9 × 2n-2  (n > 1)
∴f(n)   + f(n-1) = 9 × 2n-2 - 4	①
f(n-1) + f(n-2) = 9 × 2n-3 - 4	②
┋  f(3)   + f(2)   = 9 × 2 - 4
f(2)   + f(1)   = 9 - 4
把①式減去②式得
f(n)   = 9 × 2n-3 + f(n-2)
f(n-2) = 9 × 2n-5 + f(n-4)
┋

n為奇數

f(n)   = 9 × 2n-3 + f(n-2)

f(n-2) = 9 × 2n-5 + f(n-4)
┋  f(5)   = 9 × 22 + f(3)
f(3)   = 9 + f(1)
f(1)   = 1
從下往上迭代，得:
f(n) = 9 × (2n-3 + 2n-5 + ... + 22 + 1) + 1
=>
f(n) = 9 × (1 - 4(n-1)/2) ÷ (1 - 4) + 1
=>
f(n) = 3 × 2n - 1 - 2

n為偶數

f(n)   = 9 × 2n-3 + f(n-2)

f(n-2) = 9 × 2n-5 + f(n-4)
┋  f(4)   = 9 × 21 + f(2)
f(2)   = 4
從下往上迭代，得:
f(n) = 9 × (2n-3 + 2n-5 + ... + 21) + 4
=>
f(n) = 9 × 2 × (1 - 4(n-2)/2) ÷ (1 - 4) + 4
=>
f(n) = 3 × 2n - 1 - 2

世上的事往往如此，巧合的事情經常發生。不得不感嘆大自然的美妙~

現在我們就得到了這道題目的公式了: f(n) = 3 × 2n - 1 - 2

**實現：

#include #include int main(void)

蟠桃記（杭電2013）

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杭電 acm 2013 蟠桃記

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