2009-05-09 11:43:22
直接算會死人的。根據矩陣特點用不用的分解，寫成幾個例程，每次實驗之前進行嘗試，根據嘗試結果在演算法裡決定裡決定用哪個。
irst
我想問：
1.全階矩陣a的求逆運算inv(a) 和稀疏矩陣b（階數和a一樣）
的求逆運算inv(b)是不是採取一樣的方法啊？也就是說他們的
計算量是不是一樣的啊？不會因為是稀疏矩陣就採取特殊的
方法來處理求逆吧？
我電腦記憶體256m ，做4096*4096的矩陣求逆還可以，上萬階的
就跑不動了
稀疏儲存方式會減少不必要的計算，雖然原理還是一樣，不過
計算量大大減少了。
2.如果乙個矩陣c非零元素都集中在主對角線的周圍，那麼對c求逆最好
應該採用什麼樣的方法最好呢？
一般還是用lu分解＋前後迭代的方法，如果矩陣對角佔優就更好辦了。
只不過還是需要稀疏儲存。
稀疏矩陣的逆一般不會是稀疏矩陣，所以對高階的稀疏矩陣求逆，
是不可行的，對1萬階的全矩陣需要的記憶體差不多已經達到了pc的
極限，我想最好的辦法就是迭代，既然是稀疏，乘法的次數就有限，
效率還是很高的。
不過求逆運算基本上就是解方程，對稀疏矩陣，特別是他那種基本上非零元素都在對角線附近的矩陣來說，lu分解不會產生很多的注入元，所以用lu分解解方程方法的方法是可行的。
如果用迭代法，好像也就是共軛梯度法了。
c的資源網路上有很多 google一下
或者到www.csdn.net，oonumerics.org上找找
或者用imsl for c
或者用lapack
或者用matlab+c混合程式設計
有現成**，但要你自己找了
也可以使用程式庫
second
30,000*30,000的稀疏矩陣求逆如何實現？
試試基於krylov子空間方法的演算法吧。
如arnoldi和gmres方法。
matlab中有函式可以直接呼叫。
直接help gmres就可以了。
如果效果還不好 。
就用用預處理技術。
比如不完全lu預處理方法。。等等。。
各種各樣的預處理+gmres是現在解決大規模稀疏矩陣的主力方法。。
維數再多還是用不完全lu分解預處理+cg or gmres
我乙個同學這麼求過200w階的矩陣
求逆一般是不可取的，無需多說。但稀疏矩陣的直接解法還是不少的。基本上都是對矩陣進行重新排序以期減少填充或運算量。
在matlab裡面，有許多演算法可以利用：
colamd, colmmd, colperm, spparms, symamd, symmmd, symrcm.
根據是否對稱，採用lu分解或者chol分解。
這些演算法在internet上搜一下，很多都有相應的c或fortran版本。
稀疏矩陣的儲存最常見的是壓縮列（行）儲存，最近發現一種利用hash表來儲存的，其訪問複雜度是o（1）,很是不錯。有幸趣的可以看看下面網頁咯，作者提供了源程式。
事實上hash表儲存的效率也跟hash演算法有關，弄不好的話，不見得比直接按行或者列
順序檢索快。而且規模越大，效率肯定越來越低。
對稱正定的稀疏矩陣很好辦啊，用lu分解就可以了。
如果維數實在太大，比如超過10^4量級，那就只能用
共軛梯度法之類的迭代法求解了。
好多文獻中用cholesky分解處理的，好像結果還可以
你覺得ll』分解不會破壞矩陣的稀疏性麼——如果矩陣不是帶狀的話？
而且數值穩定性也有問題。
對於一些注入元不是很多的矩陣這應該是個好辦法。
但是對於有些矩陣，lu分解後可能就把整個矩陣充滿了。~
這是比較鬱悶的事情。。
third
帶狀矩陣的逆有快速演算法嗎？
我覺得這個說法不對，至少在matlab裡面，使用稀疏矩陣求逆對於效率的提高還是很顯著的。利用稀疏特性，很多對於零元素的操作就省掉了。如果原矩陣還是對稱的，可以考慮三角分解，把單位陣的列向量作為右端項，求解得到的是對應的逆陣的列向量。
但是，按照前輩的說法，「絕大部分情況下，求逆陣肯定不是必需的」，這一說法我現在還是挺贊同的。 至少， 一般我們不會在有限元求解或者普通的線性方程組求解的時候，是先對係數矩陣求逆的吧。 所以，我認為，逆陣在數學上很漂亮，對於公式推導有所幫助，但是在數值計算中是應該盡量避免直接計算它的，而且，更重要的是，在絕大部分情況下，是可以避免的。
是時候要好好總結一下了。。。
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