二分查詢演算法基本思想
二分查詢演算法的前置條件是,乙個已經排序好的序列(在本篇文章中為了說明問題的方便,假設這個序列是公升序排列的),這樣在查詢所要查詢的元素時,首先與序列中間的元素進行比較,如果大於這個元素,就在當前序列的後半部分繼續查詢,如果小於這個元素,就在當前序列的前半部分繼續查詢,直到找到相同的元素,或者所查詢的序列範圍為空為止.
用偽**來表示, 二分查詢演算法大致是這個樣子的:
left = 0, right = n -1
while (left <= right)
mid = (left+ right) / 2
case
x[mid]
left = mid+ 1;
x[mid] = t:
p= mid; break;
x[mid] >t:
right =mid -1;
return -1;
第乙個正確的程式
根據前面給出的演算法思想和偽**, 我們給出第乙個正確的程式,但是,它還有一些小的問題,後面會講到
int search(int array, int n, int v)
else if (array[middle] < v)
else
} return-1;
}下面,講講在編寫二分查詢演算法時可能出現的一些問題.
邊界錯誤造成的問題
二分查詢演算法的邊界,一般來說分兩種情況,一種是左閉右開區間,類似於[left, right),一種是左閉右閉區間,類似於[left,right].需要注意的是, 迴圈體外的初始化條件,與迴圈體內的迭代步驟,都必須遵守一致的區間規則,也就是說,如果迴圈體初始化時,是以左閉右開區間為邊界的,那麼迴圈體內部的迭代也應該如此.如果兩者不一致,會造成程式的錯誤.比如下面就是錯誤的二分查詢演算法:
int search_bad(int array, int n, int v)
else if (array[middle] < v)
else
} return-1;
}這個演算法的錯誤在於, 在迴圈初始化的時候,初始化right=n,也就是採用的是左閉右開區間,而當滿足array[middle]> v的條件是, v如果存在的話應該在[left,middle)區間中,但是這裡卻把right賦值為middle -1了,這樣,如果恰巧middle-1就是查詢的元素,那麼就會找不到這個元素.
下面給出兩個演算法, 分別是正確的左閉右閉和左閉右開區間演算法,可以與上面的進行比較:
int search2(int array, int n, int v)
else if (array[middle] < v)
else
} return-1;
}int search3(int array, int n, int v)
else if (array[middle] < v)
else
} return-1;
}死迴圈
上面的情況還只是把邊界的其中乙個寫錯, 也就是右邊的邊界值寫錯,如果兩者同時都寫錯的話,可能會造成死迴圈,比如下面的這個程式:
int search_bad2(int array, int n, int v)
else if (array[middle] < v)
else
} return-1;
}這個程式採用的是左閉右閉的區間.但是,當array[middle] >v的時候,那麼下一次查詢的區間應該為[middle + 1, right], 而這裡變成了[middle,right];當array[middle] < v的時候,那麼下一次查詢的區間應該為[left,middle - 1], 而這裡變成了[left, middle].兩個邊界的選擇都出現了問題,因此,有可能出現某次查詢時始終在這兩個範圍中輪換,造成了程式的死迴圈.
溢位前面解決了邊界選擇時可能出現的問題,下面來解決另乙個問題,其實這個問題嚴格的說不屬於演算法問題,不過我注意到很多地方都沒有提到,我覺得還是提一下比較好.
在迴圈體內,計算中間位置的時候,使用的是這個表示式:
middle = (left + right) / 2;
假如,left與right之和超過了所在型別的表示範圍的話,那麼middle就不會得到正確的值.
所以,更穩妥的做法應該是這樣的:
middle = left + (right - left) / 2;
更完善的演算法
前面我們說了,給出的第乙個演算法是乙個"正確"的程式, 但是還有一些小的問題.
首先, 如果序列中有多個相同的元素時,查詢的時候不見得每次都會返回第乙個元素的位置,比如考慮一種極端情況:序列中都只有乙個相同的元素,那麼去查詢這個元素時,顯然返回的是中間元素的位置.
其次, 前面給出的演算法中,每次迴圈體中都有三次情況,兩次比較,有沒有辦法減少比較的數量進一步的優化程式?
《程式設計珠璣》中給出了解決這兩個問題的演算法,結合前面提到溢位問題我對middle的計算也做了修改:
int search4(int array, int n, int v)
else
} if (right>= n || array[right] != v)
returnright;
}這個演算法是所有這裡給出的演算法中最完善的乙個,正確,精確且效率高.
參考資料
1.《程式設計珠璣》
2.wiki上關於二分查詢的說明:
來自:
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