在不使用浮點函式sqrt的情況下,我們有一些比較好的演算法：
1.利用恒等式： 1+3+5+7+....+(2*n-1)=n^2
bool
issqrt(
intn)
下面是一些關於完全平方數的數學性質：
對排除完全平方數有一定的加速作用：
性質1：完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。
性質2：奇數的平方的個位數字為奇數，十位數字為偶數。
證明 奇數必為下列五種形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分別平方後，得
(10a+1)^2=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)^2=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)^2=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)^2=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)^2=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
綜上各種情形可知：奇數的平方，個位數字為奇數1,5,9；十位數字為偶數。
性質3：如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6；反之，如果完全平方數的個位數字是6，則它的十位數字一定是奇數。
證明 已知=10k+6，證明k為奇數。因為的個位數為6，所以m的個位數為4或6，於是可設m=10n+4或10n+6。則
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k為奇數。
推論1：如果乙個數的十位數字是奇數，而個位數字不是6，那麼這個數一定不是完全平方數。
推論2：如果乙個完全平方數的個位數字不是6，則它的十位數字是偶數。
性質4：偶數的平方是4的倍數；奇數的平方是4的倍數加1。
這是因為 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性質5：奇數的平方是8n+1型；偶數的平方為8n或8n+4型。
在性質4的證明中，由k(k+1)一定為偶數可得到(2k+1)是8n+1型的數；由為奇數或偶數可得(2k)為8n型或8n+4型的數。
性質6：平方數的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。
因為自然數被3除按餘數的不同可以分為三類：3m,3m+1, 3m+2。平方後，分別得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性質7：不能被5整除的數的平方為5k±1型，能被5整除的數的平方為5k型。
性質8：平方數的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
除了上面關於個位數，十位數和餘數的性質之外，還可研究完全平方數各位數字之和。例如，256它的各位數字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位 數字和。如果再把13的各位數字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位數字的和。下面我們提到的乙個數的各位數字之和是指把它的各位數字相加，如果 得到的數字之和不是一位數，就把所得的數字再相加，直到成為一位數為止。我們可以得到下面的命題：
乙個數的數字和等於這個數被9除的餘數。
下面以四位數為例來說明這個命題。
設四位數為，則
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
顯然，a+b+c+d是四位數被9除的餘數。
對於n位數，也可以仿此法予以證明。
關於完全平方數的數字和有下面的性質：
性質9：完全平方數的數字之和只能是0,1,4,7,9。
證明 因為乙個整數被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式，而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上幾條性質以外，還有下列重要性質：
性質10：為完全平方數的充要條件是b為完全平方數。
證明 充分性：設b為平方數，則
==(ac)
必要性：若為完全平方數，=，則
性質11：如果質數p能整除a，但p的平方不能整除a，則a不是完全平方數。
證明 由題設可知，a有質因數p，但無因數，可知a分解成標準式時，p的次方為1，而完全平方數分解成標準式時，各質因數的次方均為偶數，可見a不是完全平方數。
性質12：在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數，即若
n^2 < k^2 < (n+1)^2
則k一定不是完全平方數。
性質13：乙個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數(包括1和n本身)。
如何判斷乙個數是不是乙個完全平方數？
在不使用浮點函式sqrt的情況下,我們有一些比較好的演算法 1.利用恒等式 1 3 5 7 2 n 1 n 2 bool issqrt intn 複製 下面是一些關於完全平方數的數學性質 對排除完全平方數有一定的加速作用 性質1 完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。性質2 奇數的平方的個...
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在不使用浮點函式sqrt的情況下,我們有一些比較好的演算法 1.利用恒等式 1 3 5 7 2 n 1 n 2 bool issqrt intn 下面是一些關於完全平方數的數學性質 對排除完全平方數有一定的加速作用 性質1 完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。性質2 奇數的平方的個位數字...
判斷乙個數是不是某個自然數的平方
基本思路是二分查詢，只是判斷標準變為x 2 key 改進思路是縮小二分查詢的起始區間，步驟如下 改進思路的證明 假設存在k，使得2 k n 2 k 對不等式兩邊乘以2 k，得到 2 k 2 n，即2 k sqrt n 2 k即為a 再對上述結論兩邊取倒數，得1 2 k 1 sqrt n 分母有理化得...