四元素還是向量？

四元素是描述運動物體姿態的終極**。它是由威廉·哈密頓(william rowan hamilton)爵士2023年在愛爾蘭發現的。

會中文的數學家

哈密頓生於愛爾蘭，他在十三歲前都受其叔父語言學家詹姆斯照顧。哈密頓很喜歡文學，在大學期間，他不但修讀數學，還有修讀經典文學。因此，他總共精通十二種語言。除了歐洲語言之外，他還懂得波斯語、馬來語、阿拉伯語、梵文和中文等。他的妻子是乙個神父的女兒。哈密頓最大的成就在於發現了四元數，並將之廣泛應用於物理學各方面。哈密頓對光學、動力學和代數的發展提供了重要的貢獻。他的成果後來成為量子力學中的主幹。

金雀花之石

2023年秋的一天，哈密頓和妻子在都柏林的皇家運河邊上散步。當時他正研究如何將二維的複數擴充套件到更高的維次。他想不出有三維的例子，但是四維卻可以。他作了乙個非常簡單但極其具有創造性的假設：

令i^2 = -1

j^2 = -1

k^2 = -1

但是i != j !=k

另外，他的方程完全拋棄了乘法交換率，這在當時是乙個極端的想法。

i * j = k; j * i = -k;

j * k = i; k * j = -i;

k * i = j; i * k = -j;

哈密頓立刻將此方程刻在附近的金雀花橋（broom bridge，舊稱brougham bridge）上。後來愛爾蘭國家大學梅努斯分校由2023年開始舉辦讓數學家由dunsink天文台走到皇家運河的行程，可惜途中已找不到哈密頓的刻石。

四元素還是向量？

發現四元素以後，哈密頓繼續推廣四元素。他寫過多本有關的專著，其中，《四元數原理》（elements of quaternions）長達八百多頁。但是不久，向量被發現並流行起來。一些哈密頓的支持者不遺餘力地反對奧利弗·黑維塞的向量代數和約西亞·威拉德·吉布斯的向量分析的發展，以維持四元數的超然地位。而事實上，在二十世紀中葉的科學和工程界中，向量幾乎已完全取代四元數的位置。

數學家認為，四元數是稱為幾何代數的clifford代數的乙個子代數，而後者已經得到很好的研究和應用，尤其是在理論物理中。例如可以用幾何代數將狹義相對論和經典電動力學表述為非常優美的形式，量子力學中討論自旋常用的泡利矩陣實際上也是幾何代數的乙個子代數的矩陣表示，類似的例子還有對經典力學中剛體的轉動的不可交換性的表述。

如今，四元數被使用在電腦繪圖（及相關的影象分析）上表示三維物件的旋轉及方位。 四元數亦見於控制論、訊號處理、姿態控制、物理和軌道力學，都是用來表示旋轉和方位。這是由於四元數轉換組合比很多矩陣轉換組合在數字上更穩定。

但是即使在今天，四元素的用途仍在爭辯之中。

用四元素表示旋轉

可以把四元素假象為具有4個元素的向量：

q = i * x + j * y + k * z + w

inverse q = i * x + j * y + k * z - w

每乙個四元素q意味著乙個旋轉。

q1 * q2 表示先做乙個q2旋轉，再做乙個q1旋轉。

q 和 -q 是相同的旋轉。

若要把物體沿著規範化的向量(x, y, z)繞θ度，則依此建立q:

q = sin( θ / 2 ) * ( x * i + y * j + k * z ) + cos( θ / 2 )

四元素的優勢

十分易於差值(interpolate)

完全消除gimbal lock (或者說沒有奇點)

儘管最後會把四元素還原為矩陣，但是四元素在連乘的時候效率大大優於矩陣

四元素化為矩陣