這是我第一次寫博，由於最近在看演算法方面的書，就從這個方面說起吧。
一般我們要分析乙個演算法，不可避免的要提到記號o，例如我們說乙個演算法的複雜度t(n) = o(n2).表示的是這個演算法在最壞的情況下，其執行的時間t(n)與輸入的長度（n）存在乙個漸進上界cn2（c是乙個正常數），用數學語言就是：
存在這乙個正常數c，正整數n0,使得對於所有的n>＝n0，都有 t(n) <= cn2。
從這個式子我們可以看出，在分析乙個演算法複雜度的時候，我們只關心：
（1） n足夠大的情況。
（2） 只考慮隨著n的增大，執行時間增加的數量級（是n的幾次方），而忽略其係數（c）。
其實，在一般的演算法書中還存在這 兩個符號ώ和θ,t(n) = ώ(n2),表示最壞情況的下界，即：
存在這乙個正常數c，正整數n0,使得對於所有的n>＝n0，都有 t(n) >＝ cn2。如果t(n) 即等於o(n2)又等於ώ(n2),我們說t(n) = θ
(n2)。
這個地球人都知道，最簡單的情況就是：
給定乙個整數陣列a[n]，將其中的元素進行非降序排列，並輸出出來。
insert排序演算法的原理有點象我們打牌的時候的齊牌，所有的牌都覆蓋在桌上，一張一張的拿起，拿到第一張我們認為它最小，然後拿第二張，將它插到前面排好的序列（其實只有一張）中去，這樣前兩張排好了，同理，拿到第三張時，將其插到前面排好的序列中去，依此類推，直到將所有的牌都排好了為止。
**如下：
那麼我們如何分析insert演算法的複雜度呢，上面**的操作主要時比較（＝＝，>,<,>=,<=）和交換（賦值＝）組成。假定一次比較操作的時間相當，為a，一次賦值的時間也相當，為 b，那麼上面演算法的最壞情況的時間為：
t(n) = (a+2b) *(n-1) + (a+b)*(1+2+3+...+n-1) = (a+2b) *(n-1) + (a+b)* (n-1)*(n-2) /2 = o(n2)
merge演算法是一種分治思想，將n個元素的排序分成n/2個元素的子問題，然後將排好的子串行進行合併。
**如下:
根據上面的**，我們可以很容易的知道函式merge的複雜度為θ
（n），那麼mergesort需要的時間為：
t（n）＝ 2t（n/2）+ θ
(n).
那麼根據上式我們怎麼得到mergesort的複雜度呢？
主定理（不知道為什麼叫做主定理）就是為了解決上述問題的。描述如下：
設 a >=1和 b >＝1 為常數，f（n）為一函式，t(n) =at(n/b) + f(n),如果
n/b 不為整數的話，可為比n/b小的最大整數，或者比n/b大的最小整數，則有：
1. 若對某常數 e>0, 有f(n) = o(nlogba-e). 則 t(n) = θ
(nlogba).
2. 若f(n) = θ
(nlogba),則 t(n) = θ
(nlogbalgn).
3. 若對某常數 e>0,有f(n) = ώ(nlogba+e), 且對常量c<1與所有足夠大的n，有af(n/b) <=cf(n),則：
t(n) = θ
(f(n)).
根據如上的定理，t（n）＝2t（n/2+θ
(n)屬於第二種情況，即有t(n) = θ(nlogbalgn) = θ(nlgn) = o(nlgn)。
從上面的分析來看，在時間上merge演算法要由於insert演算法。
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