揹包問題（knapsack problem）
揹包問題是一種組合優化的np完全問題
。問題可以描述為：給定一組物品，每種物品都有自己的重量和**，在限定的總重量內，我們如何選擇，才能使得物品的總**最高。問題的名稱**於如何選擇最合適的物品放置於給定揹包中。相似問題經常出現在商業、組合數學，計算複雜性理論
、密碼學和應用數學等領域中。也可以將揹包問題描述為決定性問題，即在總重量不超過w的前提下，總價值是否能達到v？它是在2023年由merkel和hellman提出的。
有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的重量是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的重量總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
這是最基礎的揹包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。
用子問題定義狀態：即f[i][v]表示前i件物品恰放入乙個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：f[i][v]=max 。 可以壓縮空間，f[v]=max
這個方程非常重要，基本上所有跟揹包相關的問題的方程都是由它衍生出來的。所以有必要將它詳細解釋一下：「將前i件物品放入容量為v的揹包中」這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那麼就可以轉化為乙個只牽扯前i-1件物品的問題。如果不放第i件物品，那麼問題就轉化為「前i-1件物品放入容量為v的揹包中」，價值為f[i-1][v]；如果放第i件物品，那麼問題就轉化為「前i-1件物品放入剩下的容量為v-c[i]的揹包中」，此時能獲得的最大價值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w[i]。
注意f[v]有意義當且僅當存在乙個前i件物品的子集，其費用總和為v。所以按照這個方程遞推完畢後，最終的答案並不一定是f[n] [v]，而是f[n][0..v]的最大值。如果將狀態的定義中的「恰」字去掉，在轉移方程中就要再加入一項f[v-1]，這樣就可以保證f[n] [v]就是最後的答案。至於為什麼這樣就可以，由你自己來體會了。
揹包問題示例**
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