也是壇裡面的問題：
已知正整數 n 求 n！的十進位制數共有多少位。
這個 n! 怎麼辦？
n! 的增長率是很可怕的，比 e^n 還要快，其實就是 o(n^n)，當 n 值「較」大時，就不能忍了。這個「較」有多大呢？等後面算完了就知道了。遞迴算 n!，便是尾遞迴來說，便是棧展得開，效率也受不了，便是效率受得了，也沒地兒放。所以絕對不能去算 n!
但只求位數的話，這比較好解，答案是 fix ( log10(n!) ) + 1，是吧，對數是增長級殺手……
反正我們是為了算 ln(n!)，可以從數學上找方法。
由於 ln (ab) = ln(a) + ln(b)，那麼 ln(n!) 是可以展成乙個 n 項加式的，但是……n 項式，每項都要求 ln，不是「很」好……
這裡引出 stirling 公式：
看樣子不錯，便是 n 值「很」小時，捨掉近似項的準確度也是令人滿意的，至少，不會影響到 ln(n!)，這是一定的。讀者可以驗證，這個「很」到多小呢？這個可以在此說明，n 可以小到 1!
所以，通過 stirling 公式，只用算兩次 log10 就解決了。
o(1/n)的係數是 1/12，而且這已是一列阻尼級數的最大振幅了，所以便是當 n = 1 的時候，誤差最大不過 1/12，對於計算位數，根本不受影響。
用 matlab 就兩句話：
就將 1 到 107 這些數的位數都算出來了，耗時瞬間。
c 語言會更快。
如果是算[1...n]的ln(n!)值的話，那麼通過查表按序從ln(1)算到ln(n)求和的話，每個n只用算一次，比斯特林快，斯特林法用於算單個ln(n!)無疑是最快的。
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